Construa um exemplo com duas funções analíticas distintas,
e
, definidas na mesma região
, e coincidindo numa seqüência infinita de pontos distintos
que converge para um ponto fora de
.
Passo 1
O enunciado quer duas funções analíticas distintas
e
numa mesma região
que coincidem em infinitos pontos distintos
cuja única “massa de acúmulo” é um ponto fora de
. Lembrando que o Teorema da Identidade diz que, se esses pontos tivessem um limite dentro de
, então
. Para driblar isso, faremos o limite escapar para fora de
.
Passo 2
Vamos escolher como região
ou seja, o disco aberto de raio 1. Definimos
que é obviamente inteira (analítica em todo
) e
A função
é analítica em todo
, logo também em
, pois
.
Passo 3
Definimos a sequência
Cada
satisfaz
(pois
pela esquerda) e converge para
que está na fronteira de
e, portanto, fora de
.
Passo 4
Em cada ponto
temos
Logo
para todo
.
Passo 5
Por construção
é a função zero, enquanto
não é identicamente zero em
(por exemplo,
mas há muitos pontos onde
). Assim
em
.
Resposta
Podemos tomar
e a sequência
que está em
, satisfaz
para todo
, e converge para
.