Construa um exemplo com duas funções analíticas distintas, f e g, definidas na mesma região R, e coincidindo numa seqüência infinita de pontos distintos zn que converge para um ponto fora de R.

Passo 1

O enunciado quer duas funções analíticas distintas f e g numa mesma região R que coincidem em infinitos pontos distintos zn cuja única “massa de acúmulo” é um ponto fora de R. Lembrando que o Teorema da Identidade diz que, se esses pontos tivessem um limite dentro de R, então fequiv g. Para driblar isso, faremos o limite escapar para fora de R.

Passo 2

Vamos escolher como região
R = zinC mid |z|<1,
ou seja, o disco aberto de raio 1. Definimos
f(z)=0,
que é obviamente inteira (analítica em todo C) e
g(z)=sin!l(tfracpi1-zr)
A função g é analítica em todo Csetminus1, logo também em R, pois 1notin R.

Passo 3

Definimos a sequência
zn = 1 - tfrac1n, n=2,3,4,dots
Cada zn satisfaz |zn|<1 (pois znto1 pela esquerda) e converge para
limntoinfty zn = 1,
que está na fronteira de R e, portanto, fora de R.

Passo 4

Em cada ponto zn temos
1 - zn = tfrac1n Longrightarrow g(zn) =sin!l(pi nr) =0 =f(zn)
Logo f(zn)=g(zn) para todo n>=2.

Passo 5

Por construção f é a função zero, enquanto g não é identicamente zero em R (por exemplo, g(0)=sin!pi=0 mas há muitos pontos onde g(z)neq0). Assim fnotequiv g em R.

Resposta

Podemos tomar
R=zinCmid |z|<1, f(z)=0, g(z)=sin!l(tfracpi1-zr),
e a sequência
zn = 1 - tfrac1n,
que está em R, satisfaz f(zn)=g(zn)=0 para todo n, e converge para 1notin R.

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