Com a mesma notação usada na demonstração do Teorema 6.4, prove que a função é analítica em R.
Passo 1
O enunciado diz que f é analítica em R. Definimos
F(z)=f(bar z)
Para mostrar que F é analítica em R, basta provar que suas partes real e imaginária satisfazem as equações de Cauchy–Riemann com derivadas parciais contínuas.
Passo 2
Escrevemos
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y),
onde z=x+iy. Então, ao substituir bar z=x-iy, temos
f(bar z)=u(x,-y)+i,v(x,-y),
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F(z)=f(bar z)=u(x,-y)-i,v(x,-y)
Definimos
U(x,y)=u(x,-y), V(x,y)=-,v(x,-y),
de modo que F(z)=U(x,y)+i,V(x,y).
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de U e V. Primeiro,