Com a mesma notação usada na demonstração do Teorema 6.4, prove que a função F(z)=f(barz) é analítica em R.

Passo 1

O enunciado diz que f é analítica em R. Definimos
F(z)=f(bar z)
Para mostrar que F é analítica em R, basta provar que suas partes real e imaginária satisfazem as equações de Cauchy–Riemann com derivadas parciais contínuas.

Passo 2

Escrevemos
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y),
onde z=x+iy. Então, ao substituir bar z=x-iy, temos
f(bar z)=u(x,-y)+i,v(x,-y),
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F(z)=f(bar z)=u(x,-y)-i,v(x,-y)
Definimos
U(x,y)=u(x,-y), V(x,y)=-,v(x,-y),
de modo que F(z)=U(x,y)+i,V(x,y).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de U e V. Primeiro,
Ux(x,y)=partialpartial xu(x,-y)=ux(x,-y),
Vy(x,y)=partialpartial yl[-v(x,-y)r] =-l(-vy(x,-y)r)=vy(x,-y)
Como f é analítica, u e v satisfazem
ux(x,-y)=vy(x,-y)
Portanto
Ux(x,y)=Vy(x,y)

Passo 4

Agora a outra dupla:
Uy(x,y)=partialpartial yu(x,-y)=-,uy(x,-y),
Vx(x,y)=partialpartial xl[-v(x,-y)r]=-,vx(x,-y)
Pelas equações de Cauchy–Riemann originais temos
uy(x,-y)=-,vx(x,-y)
Assim
Uy(x,y)=-l[-vx(x,-y)r]=vx(x,-y)=-,Vx(x,y),
ou seja,
Uy(x,y)=-Vx(x,y)

Passo 5

Concluímos que U e V satisfazem as equações de Cauchy–Riemann e têm derivadas parciais contínuas (pois u e v têm). Logo F é analítica em R.

Resposta

A função F(z)=f(bar z) satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e possui derivadas parciais contínuas em R, portanto é analítica em R.

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