Determine a continuação analítica a todo o plano da função
f(x)=integral0^infty t e^-t x d t, x>0
Mostre que ela é regular no infinito e localize sua única singularidade.

Passo 1

O enunciado pede a continuação analítica da função
f(x)=integral0^inftyt,e^-t x,dt, x>0,
além de mostrar que essa continuação é regular no infinito e localizar sua única singularidade. Para isso vamos usar conceitos de transformada de Laplace em variável complexa, propriedades de funções meromorfas e o teste de regularidade no ponto infty.

Passo 2

Primeiro estendemos x para um número complexo z com Re(z)>0 e calculamos a integral usando a transformada de Laplace padrão. Sabemos que
integral0^inftye^-z t,dt = 1z
para Re(z)>0. Diferenciando em z sob o sinal de integral, obtemos
ddzintegral0^inftye^-z t,dt = -integral0^inftyt,e^-z t,dt
Como o lado esquerdo é ddz(1/z)=-1/z^2, concluímos
integral0^inftyt,e^-z t,dt = 1z^2,
válido para Re(z)>0.

Passo 3

A expressão
f(z)=1z^2
define uma função meromorfa em todo o plano complexo, com domínio máximo Csetminus0. Essa é a continuação analítica de f(x).

Passo 4

A única singularidade de f(z)=1/z^2 ocorre em z=0. Como em torno de z=0 a expansão de Laurent é
f(z)=z^-2,
tratando-se de um termo z^-2 sem parte analítica, concluímos que z=0 é um polo de ordem 2.

Passo 5

Para verificar a regularidade no infinito, definimos w=1/z e consideramos
g(w)=fl(1/wr)=1(1/w)^2=w^2
Como g(w)=w^2 é analítica no entorno de w=0, segue que f(z) é analítica no entorno de z=infty. Portanto, f é regular no ponto do infinito.

Resposta

A continuação analítica de
f(x)=integral0^inftyt,e^-t x,dt
é
f(z)=1z^2,
ela é regular em infty e possui uma única singularidade em z=0, que é um polo de ordem 2.

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