Determine a continuação analítica a todo o plano da função
Mostre que ela é regular no infinito e localize sua única singularidade.
Passo 1
O enunciado pede a continuação analítica da função
além de mostrar que essa continuação é regular no infinito e localizar sua única singularidade. Para isso vamos usar conceitos de transformada de Laplace em variável complexa, propriedades de funções meromorfas e o teste de regularidade no ponto
.
Passo 2
Primeiro estendemos
para um número complexo
com
e calculamos a integral usando a transformada de Laplace padrão. Sabemos que
para
. Diferenciando em
sob o sinal de integral, obtemos
Como o lado esquerdo é
, concluímos
válido para
.
Passo 3
A expressão
define uma função meromorfa em todo o plano complexo, com domínio máximo
. Essa é a continuação analítica de
.
Passo 4
A única singularidade de
ocorre em
. Como em torno de
a expansão de Laurent é
tratando-se de um termo
sem parte analítica, concluímos que
é um polo de ordem 2.
Passo 5
Para verificar a regularidade no infinito, definimos
e consideramos
Como
é analítica no entorno de
, segue que
é analítica no entorno de
. Portanto,
é regular no ponto do infinito.
Resposta
A continuação analítica de
é
é
ela é regular em
e possui uma única singularidade em
, que é um polo de ordem 2.