Considere que o pentágono regular ABCDE estả inscrito em uma circunferéncia de raio R . Prove que (\overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{AC}})^{2}=5 \mathrm{R}^{2}.

Passo 1

Temos um pentágono regular ABCDE inscrito numa circunferência de raio R. Como é regular, cada arco “vizinho” mede
\frac{360^\circ}{5}=72^\circ.
Logo o ângulo central correspondente ao arco AB vale 72^\circ e ao arco AC vale 2\cdot72^\circ=144^\circ. Vamos usar a fórmula do comprimento de corda em função do ângulo central.

Passo 2

Em qualquer círculo de raio R, a corda que subtende ângulo central \theta tem comprimento
\text{corda} = 2R\sin\Bigl(\frac{\theta}{2}\Bigr).
Aqui, \theta_{AB}=72^\circ e \theta_{AC}=144^\circ. Portanto
AB = 2R\sin(36^\circ), \qquad AC = 2R\sin(72^\circ).

Passo 3

Vamos calcular
AB^{2}+AC^{2} = \bigl(2R\sin36^\circ\bigr)^{2} + \bigl(2R\sin72^\circ\bigr)^{2} =4R^{2}\bigl(\sin^{2}36^\circ+\sin^{2}72^\circ\bigr).
Para somar \sin^{2}36^\circ+\sin^{2}72^\circ usamos \sin^{2}\varphi=(1-\cos2\varphi)/2:
\sin^{2}36^\circ =\frac{1-\cos72^\circ}{2}, \quad \sin^{2}72^\circ =\frac{1-\cos144^\circ}{2}.
Sabendo que \cos144^\circ=\cos(180^\circ-36^\circ)=-\cos36^\circ e que
\cos36^\circ=\tfrac{\sqrt5+1}{4},\;\cos72^\circ=\tfrac{\sqrt5-1}{4},
temos
\sin^{2}36^\circ+\sin^{2}72^\circ =\frac{1-\frac{\sqrt5-1}{4}}{2} +\frac{1-(-\frac{\sqrt5+1}{4})}{2} =\frac{5}{4}.

Passo 4

Substituindo na soma de quadrados:
AB^{2}+AC^{2} =4R^{2}\cdot\frac{5}{4} =5R^{2}.

Resposta

AB^{2} + AC^{2} = 5R^{2}.

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