(ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos E A e E D interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G . Se EB=5, BA=7, EC=4, GD=3 e AG=6, então GF vale
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Passo 1

O enunciado dá um ponto externo E a uma circunferência e dois raios E!A e E!D que interceptam a circunferência em B,A e em C,D, respectivamente. A corda AF cruza ED em G. Precisamos usar:
– Teorema da potência de um ponto externo (em E):
EBcdot EA = ECcdot ED,
– Teorema do produto dos segmentos de cordas que se cruzam (em G):
AGcdot GF = CGcdot GD

Passo 2

Pela potência em E:
EBcdot EA = ECcdot ED Longrightarrow 5cdot(5+7)=4cdot ED Longrightarrow 60 = 4cdot ED Longrightarrow ED = 15

Passo 3

No segmento ED temos GD=3, logo
EG = ED - GD = 15 - 3 = 12
E como EC=4, o pedaço interno à circunferência é
CG = EG - EC = 12 - 4 = 8

Passo 4

Pelo teorema das cordas que se cruzam em G:
AGcdot GF = CGcdot GD Longrightarrow 6cdot GF = 8cdot 3 = 24 Longrightarrow GF = 246 = 4

Resposta

d) 4

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