(ITA-SP) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos e E D interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento ED no ponto G . Se EB=5, BA=7, EC=4, GD=3 e AG=6, então GF vale
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Passo 1
O enunciado dá um ponto externo EBcdot EA = ECcdot ED, a uma circunferência e dois raios AGcdot GF = CGcdot GD e que interceptam a circunferência em e em , respectivamente. A corda cruza em . Precisamos usar:
– Teorema da potência de um ponto externo (em ):
– Teorema do produto dos segmentos de cordas que se cruzam (em ):
Passo 2
Pela potência em EBcdot EA = ECcdot ED Longrightarrow 5cdot(5+7)=4cdot ED Longrightarrow 60 = 4cdot ED Longrightarrow ED = 15 :
Passo 3
No segmento EG = ED - GD = 15 - 3 = 12 temos CG = EG - EC = 12 - 4 = 8 , logo
E como , o pedaço interno à circunferência é
Passo 4
Pelo teorema das cordas que se cruzam em AGcdot GF = CGcdot GD Longrightarrow 6cdot GF = 8cdot 3 = 24 Longrightarrow GF = 246 = 4 :
Resposta
d) 4
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 55