A soma dos termos de ordem ímpar de uma P.G. infinita é 20 e a soma dos termos de ordem par é 10. Obtenha o primeiro termo.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma P.G. infinita cujos termos são
a,;ar,;ar^2,;ar^3,dots
A soma dos termos de ordem ímpar ( 1º, 3º, 5º,···) é 20 e a soma dos termos de ordem par ( 2º, 4º, 6º,···) é 10. Vamos usar a fórmula da soma de P.G. infinita para encontrar o primeiro termo a.

Passo 2

A soma dos termos de ordem ímpar é a série
Símpar = a + a r^2 + a r^4 + dots = a1 - r^2 = 20 í
A soma dos termos de ordem par é
Spar = a r + a r^3 + a r^5 + dots = a r1 - r^2 = 10

Passo 3

Dividindo Spar por Símparí obtemos
a r1 - r^2a1 - r^2 = r = 1020 = tfrac12
Logo, a razão é r = tfrac12.

Passo 4

Substituindo r = tfrac12 em tfraca1 - r^2 = 20:
1 - r^2 = 1 - 14 = 34, a3/4 = 20 ;Longrightarrow; a = 20 cdot 34 = 15

Resposta

15

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