Considere um quadrado Q de lado a e cinco círculos de mesmo raio
interiores a Q, dos quais um é concêntrico com Q e tangente exteriormente aos quatro outros, e cada um destes tangencia dois lados consecutivos de Q. Determine a medida de
em função da medida a do lado quadrado.
Passo 1
O enunciado fala de um quadrado de lado
que contém cinco círculos de raio
: quatro ficam encostados em dois lados consecutivos do quadrado (nos “quatro cantos”), e um fica no centro, tangente exteriormente aos quatro outros. Precisamos usar coordenadas e a condição de tangência para obter
em função de
.
Passo 2
Escolhemos o sistema de coordenadas de modo que o quadrado seja o conjunto
. Então:
- Os centros dos quatro círculos “de canto” estão em
pois cada um tangencia dois lados. - O centro do círculo central está em
Passo 3
Para que o círculo central seja tangente exteriormente a qualquer um dos de canto, a distância entre seus centros deve ser
. Tomando, por exemplo, o de canto em
, escrevemos
Passo 4
Simplificando a equação acima:
Passo 5
Isolando
em função de
: