Considere um quadrado Q de lado a e cinco círculos de mesmo raio r interiores a Q, dos quais um é concêntrico com Q e tangente exteriormente aos quatro outros, e cada um destes tangencia dois lados consecutivos de Q. Determine a medida de r em função da medida a do lado quadrado.

Passo 1

O enunciado fala de um quadrado de lado a que contém cinco círculos de raio r: quatro ficam encostados em dois lados consecutivos do quadrado (nos “quatro cantos”), e um fica no centro, tangente exteriormente aos quatro outros. Precisamos usar coordenadas e a condição de tangência para obter r em função de a.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas de modo que o quadrado seja o conjunto [0,a]times[0,a]. Então:
  • Os centros dos quatro círculos “de canto” estão em (r,r),;(a-r,r),;(r,a-r),;(a-r,a-r), pois cada um tangencia dois lados.
  • O centro do círculo central está em l(tfraca2,tfraca2r)

Passo 3

Para que o círculo central seja tangente exteriormente a qualquer um dos de canto, a distância entre seus centros deve ser 2r. Tomando, por exemplo, o de canto em (r,r), escrevemos
raizl(tfraca2-rr)^2 + l(tfraca2-rr)^2 = 2r

Passo 4

Simplificando a equação acima:
raiz2,l(tfraca2-rr)=2r Longrightarrow tfraca2-r = rraiz2 Longrightarrow tfraca2=r,(1+raiz2)

Passo 5

Isolando r em função de a:
r = a2,(1+raiz2) = a(raiz2-1)2

Resposta

r = a(raiz2-1)2

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