Um ponto P , interno de um ângulo de 30^circ, dista 3 m de um lado e 3 raiz13 m do vértice do ângulo. Quanto esse ponto dista do outro lado do ângulo?

Passo 1

O enunciado nos dá um ângulo de 30^circ com vértice em O e um ponto P interno que está a 3 metros de um dos lados e a 3raiz13 metros do vértice O. Precisamos encontrar a distância de P ao outro lado do ângulo. Vamos usar geometria analítica: posicionar o ângulo em um sistema de coordenadas, determinar as coordenadas de P e depois calcular a distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Tomamos O=(0,0). Seja o primeiro lado do ângulo o eixo x positivo (reta y=0) e o segundo lado a reta que faz ângulo de 30^circ com o eixo x, isto é, a reta ,y=tan(30^circ),x. Nesse sistema, a distância de P=(x,y) ao primeiro lado é |y|.

Passo 3

Como P está a 3 metros do primeiro lado, temos
|y|=3
Como P está no interior do ângulo, tomamos y=3. Além disso, a distância de P a O é 3raiz13, logo
x^2+y^2=(3raiz13)^2=117 Longrightarrow x^2+9=117 Longrightarrow x^2=108 Longrightarrow x=raiz108=6raiz3

Passo 4

O segundo lado do ângulo é a reta ,y=tfrac1raiz3x. Em forma padrão, isso é
x-raiz3,y=0
A distância de P=(6raiz3,3) a essa reta é
l|1cdot(6raiz3)-raiz3cdot3r|raiz1+(-raiz3)^2 = |6raiz3-3raiz3|raiz1+3 = 3raiz32

Resposta

A distância de P ao outro lado do ângulo é tfrac3raiz32 metros.

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