Um ponto P, interno de um ângulo reto, dista, respectivamente, raiz2 m e 2 m de um lado e da bissetriz do ângulo. Determine a distância entre P e o vértice desse ângulo.

Passo 1

O enunciado nos dá um ângulo reto de vértice O e um ponto P interno que dista raiz2,m de um dos lados e 2,m da bissetriz desse ângulo. Queremos encontrar a distância OP. Para isso, adotamos um sistema de coordenadas com O na origem e os lados do ângulo coincidentes com os eixos coordenados, e usamos a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Se tomarmos o lado de referência como o eixo x, então para P=(x,y) a sua distância ao eixo x é |y|. Como essa distância vale raiz2, temos
y = raiz2
A bissetriz do ângulo reto é a reta y = x. A distância de P a essa reta é dada por
l|y - xr|raiz2 = 2

Passo 3

Substituindo y = raiz2 na equação da distância à bissetriz, obtemos
l|raiz2 - xr|raiz2 = 2 Longrightarrow l|raiz2 - xr| = 2raiz2
Como x>0, a solução válida é
x = raiz2 + 2raiz2 = 3raiz2

Passo 4

Agora P=(3raiz2,,raiz2) e a distância até a origem é
OP = raiz(3raiz2)^2 + (raiz2)^2 = raiz18 + 2 = raiz20 = 2raiz5

Resposta

A distância de P ao vértice do ângulo é 2raiz5 metros.

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