Um paralelogramo tem lados respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm . Sabendo que um de seus ângulos internos vale
, calcule o perímetro do quadrilátero convexo formado pelas bissetrizes de seus ângulos internos.
Passo 1
O enunciado dá um paralelogramo de lados
cm e
cm, com
. Queremos o perímetro do quadrilátero convexo cujos vértices são as interseções das bissetrizes internas dos ângulos do paralelogramo. Vamos usar coordenadas e a ideia de que a bissetriz interna de um ângulo formado por vetores unitários
e
tem direção proporcional a
.
Passo 2
Escolhemos as coordenadas
e então
Passo 3
Bissetriz em
: os lados saindo de
têm vetores unitários
e
.
Logo a direção da bissetriz é
.
Em forma paramétrica,
Logo a direção da bissetriz é
Em forma paramétrica,
Bissetriz em
: os vetores unitários de
são
e
,
logo direção e
logo direção
Interseção
: resolvendo
e
obtém-se
,
,
portanto
portanto
Passo 4
Bissetriz em
: vetores unitários
,
,
logo direção e
logo direção
Interseção
: resolvendo
e
dá
,
,
logo
logo
Passo 5
Bissetriz em
: vetores unitários
,
,
direção e
direção
Interseções
calculam-se da mesma forma obtendo
Passo 6
Agora calculamos os comprimentos dos lados do quadrilátero
:
Somando, o perímetro é
Resposta
O perímetro do quadrilátero das bissetrizes é