Um paralelogramo tem lados respectivamente iguais a 10 cm e 8 cm . Sabendo que um de seus ângulos internos vale 120^circ, calcule o perímetro do quadrilátero convexo formado pelas bissetrizes de seus ângulos internos.

Passo 1

O enunciado dá um paralelogramo de lados AB=10 cm e AD=8 cm, com ang<= A=120^circ. Queremos o perímetro do quadrilátero convexo cujos vértices são as interseções das bissetrizes internas dos ângulos do paralelogramo. Vamos usar coordenadas e a ideia de que a bissetriz interna de um ângulo formado por vetores unitários u e v tem direção proporcional a u+ v.

Passo 2

Escolhemos as coordenadas
A=(0,0), B=(10,0), D=l(8cos120^circ,,8sin120^circr)=(-4,4raiz3),
e então
C=B+D-A=(10,0)+(-4,4raiz3)=(6,4raiz3)

Passo 3

Bissetriz em A: os lados saindo de A têm vetores unitários
uAB=(1,0) e uAD=(-tfrac12,tfracraiz32).
Logo a direção da bissetriz é
vA= uAB+ uAD=(tfrac12,tfracraiz32).
Em forma paramétrica,
LA:;(x,y)=tl(tfrac12,tfracraiz32r)
Bissetriz em B: os vetores unitários de B são
uBA=(-1,0) e uBC=(-tfrac12,tfracraiz32),
logo direção vB=(-tfrac32,tfracraiz32) e
LB:;(x,y)=(10,0)+sl(-3,raiz3r)
Interseção P=LAcap LB: resolvendo
tfrac t2=10-3s e tfractraiz32=sraiz3 obtém-se t=5, s=2,5,
portanto
P=l(2,5,;tfrac5raiz32r)=(2,5,2,5raiz3)

Passo 4

Bissetriz em C: vetores unitários
uCB=(tfrac12,-tfracraiz32), uCD=(-1,0),
logo direção vC=(-tfrac12,-tfracraiz32) e
LC:;(x,y)=(6,4raiz3)+u,(-1,-raiz3)
Interseção Q=LBcap LC: resolvendo
10-3s=6-u e sraiz3=4raiz3-uraiz3 s=2, u=2,
logo
Q=(10-3cdot2,;2raiz3)=(4,2raiz3)

Passo 5

Bissetriz em D: vetores unitários
uDC=(1,0), uDA=(tfrac12,-tfracraiz32),
direção vD=(tfrac32,-tfracraiz32) e
LD:;(x,y)=(-4,4raiz3)+v,(3,-raiz3)
Interseções
R=LCcap LDe S=LDcap LA,
calculam-se da mesma forma obtendo
R=l(3,5,;1,5raiz3r), S=(2,2raiz3)

Passo 6

Agora calculamos os comprimentos dos lados do quadrilátero PQR S:
PQ=raiz(4-2,5)^2+(2raiz3-2,5raiz3)^2 =raiz1,5^2+(-0,5raiz3)^2 =raiz2,25+0,75 =raiz3,
QR=raiz(3,5-4)^2+(1,5raiz3-2raiz3)^2 =raiz(-0,5)^2+(-0,5raiz3)^2 =1,
RS=PQ=raiz3, SP=QR=1
Somando, o perímetro é
PQ+QR+RS+SP =raiz3+1+raiz3+1 =2l(1+raiz3r),cm

Resposta

O perímetro do quadrilátero das bissetrizes é
2l(1+raiz3r),cm

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