A diferença entre as medidas das diagonais de um losango de 68 m de perímetro é 14 m . Determine as diagonais desse losango.

Passo 1

O enunciado pede as diagonais d1 e d2 de um losango cujo perímetro é 68 m e cuja diferença entre as diagonais é 14 m. Vamos usar geometria de losangos e o Teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas metades das diagonais.

Passo 2

Como o losango tem 4 lados iguais, o comprimento de cada lado é
lado = 684 = 17 m
Seja d1 a diagonal maior e d2 a menor. As condições são
d1 - d2 = 14
e, pelas metades das diagonais formarem um triângulo retângulo de hipotenusa 17,
l(tfracd12r)^2 + l(tfracd22r)^2 = 17^2 Longrightarrow d1^2 + d2^2 = 4cdot17^2 = 1156

Passo 3

Da primeira condição, d1 = d2 + 14. Substituindo em d1^2 + d2^2 = 1156 vem
(d2 + 14)^2 + d2^2 = 1156 Longrightarrow 2d2^2 + 28d2 + 196 - 1156 = 0 Longrightarrow d2^2 + 14d2 - 480 = 0

Passo 4

Resolver d2^2 + 14d2 - 480 = 0. O discriminante é
De<a = 14^2 - 4cdot1cdot(-480) = 196 + 1920 = 2116, raizDe<a = 46
Assim
d2 = -14 pm 462
d2 = 16 m (descartamos a raiz negativa).
Então d1 = d2 + 14 = 16 + 14 = 30 m.

Resposta

As diagonais do losango medem 30 m e 16 m.

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