Considere a seguinte função de produção P(x, y)=2 x^0,5 cdot y^0,5, em que P é a quantidade colhida de um produto (em toneladas), x é o número de homens-hora empregados (em milhares) e y é o número de hectares plantados. Calcule:
a) a produtividade marginal do trabalho partial Ppartial x.
b) a produtividade marginal da terra partial Ppartial y.
c) partial Ppartial x(1,4) e partial Ppartial y(1,4). Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção
P(x,y)=2,x^0,5,y^0,5
onde x é homens-hora (em milhares) e y hectares. Pede-se as produtividades marginais, isto é, as derivadas parciais partial P/partial x e partial P/partial y, e seus valores em (x,y)=(1,4). Vamos usar a regra do fator constante e a regra de potência para derivadas parciais.

Passo 2

Para partial P/partial x tratamos y como constante e aplicamos
partialpartial xl(x^0,5r)=0,5,x^-0,5
Assim,
partial Ppartial x =2cdot0,5,x^-0,5,y^0,5 =x^-0,5,y^0,5 =raizyraizx

Passo 3

Para partial P/partial y tratamos x como constante e aplicamos
partialpartial yl(y^0,5r)=0,5,y^-0,5
Logo,
partial Ppartial y =2cdot0,5,x^0,5,y^-0,5 =x^0,5,y^-0,5 =raizxraizy

Passo 4

Avaliando em (x,y)=(1,4):
partial Ppartial x(1,4) =raiz4raiz1=2, partial Ppartial y(1,4) =raiz1raiz4=tfrac12
Interpretação: com y=4 ha fixos, aumentar x em 1 (isto é, mil homens-hora a mais) gera mais 2 toneladas de produto. Com x=1 milha-hora fixa, aumentar y em 1 ha gera mais 0,5 toneladas.

Resposta

a) partial Ppartial x=x^-0,5,y^0,5=raizyraizx.
b) partial Ppartial y=x^0,5,y^-0,5=raizxraizy.
c) partial Ppartial x(1,4)=2 e partial Ppartial y(1,4)=tfrac12. A interpretação é que 1 mil homens-hora extra eleva a colheita em 2 t (com 4 ha) e 1 ha extra eleva a colheita em 0,5 t (com 1 mil homens-hora).

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