(UF-PR) Considere a seguinte tabela de números naturais. Observe a regra de formação das linhas e considere que as linhas seguintes sejam obtidas seguindo a mesma regra.
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11 12 13
a) Qual é a soma dos elementos da décima linha dessa tabela?
b) Use a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética para mostrar que a soma dos elementos da linha dessa tabela é .

Passo 1

O enunciado mostra uma tabela em que a linha n é formada pelos números consecutivos começando em n até 3n-2. Cada linha, portanto, é uma progressão aritmética (PA) de razão 1. Pede-se (a) a soma dos elementos da décima linha e (b) provar, usando a fórmula da soma de PA, que a soma da linha n é
Sn=(2n-1)^2

Passo 2

Vamos caracterizar a linha n como uma PA de razão d=1.
  • Primeiro termo: a1=n.
  • Último termo: am=3n-2.
  • Número de termos m: como vai de n até 3n-2 de passo 1, temos
m = (3n-2) - n + 1 = 2n-1

Passo 3

Aplicamos a fórmula da soma dos m termos de uma PA:
Sn = m2,(a1+am) = 2n-12,l(n + (3n-2)r)

Passo 4

Simplificando dentro do parênteses: n + (3n-2)=4n-2=2(2n-1). Logo
Sn = 2n-12,l[2(2n-1)r] = (2n-1)^2

Passo 5

Para a décima linha basta pôr n=10:
S10 = (2cdot10 -1)^2 = 19^2 = 361

Resposta

a) 361
b) Sn=(2n-1)^2

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