(UF-PR) Considere a seguinte tabela de números naturais. Observe a regra de formação das linhas e considere que as linhas seguintes sejam obtidas seguindo a mesma regra.
1
2
3
4
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
12
13
a) Qual é a soma dos elementos da décima linha dessa tabela?
b) Use a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética para mostrar que a soma dos elementos da linha
dessa tabela é
.
1 | ||||||||
2 | 3 | 4 | ||||||
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | ||||
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ||
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
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|
|
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b) Use a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética para mostrar que a soma dos elementos da linha
Passo 1
O enunciado mostra uma tabela em que a linha
é formada pelos números consecutivos começando em
até
. Cada linha, portanto, é uma progressão aritmética (PA) de razão
. Pede-se (a) a soma dos elementos da décima linha e (b) provar, usando a fórmula da soma de PA, que a soma da linha
é
Passo 2
Vamos caracterizar a linha
como uma PA de razão
.
- Primeiro termo:
. - Último termo:
. - Número de termos
: como vai de até de passo , temos
Passo 3
Aplicamos a fórmula da soma dos
termos de uma PA:
Passo 4
Simplificando dentro do parênteses:
. Logo
Passo 5
Para a décima linha basta pôr
:
Resposta
a)
b)
b)