Considere as seguintes funções, relativas a uma ninhada de pássaros:
C=5+10n ; C= custo mensal, em reais, para manutenção de n pássaros V=-5 n^{2}+100 n- 320; V= valor mensal arrecadado, em reais, com a venda de n pássaros, para 4 \leq n \leq 16.
Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela diferença entre os valores de venda V e custo C.
Determine os possíveis valores de n, para que haja lucro nas vendas.

Passo 1

O enunciado dá o custo mensal para manutenção de n pássaros
C(n)=5+10n
e o valor arrecadado com vendas
V(n)=-5n^2+100n-320,
valendo 4<= n<=16. O lucro mensal é
P(n)=V(n)-C(n)
Queremos encontrar os valores de n tais que P(n)>0.

Passo 2

Escrevemos explicitamente
P(n)=l(-5n^2+100n-320r)-l(5+10nr)=-5n^2+90n-325

Passo 3

Para resolver a inequação P(n)>0 achamos as raízes da equação
-5n^2+90n-325=0
Dividindo por -5 (e invertendo o sinal da desigualdade depois), obtemos
n^2-18n+65=0
O discriminante é
De<a = (-18)^2-4cdot1cdot65=324-260=64,
logo as raízes são
n=18pmraiz642=18pm82,
isto é
n1=5, n2=13

Passo 4

Como o coeficiente de n^2 em P(n) é negativo, P(n) é positiva entre as raízes. Logo
P(n)>0Leftrightarrow5<n<13

Passo 5

Restrigindo ao domínio inteiro 4<= n<=16 e aos n que satisfazem 5<n<13, temos
nin6,7,8,9,10,11,12

Resposta

Os valores de n que garantem lucro são
6,7,8,9,10,11,12

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