Considere-se uma semicircunferência de diâmetro . Construímos internamente duas novas semicircunferências com diâmetros e OB e uma circunferência tangente a essas três semicircunferências. Calcule a medida do raio dessa circunferência.
Passo 1
O enunciado trata de uma semicircunferência de diâmetro AB com AB=2r (raio r), em cujos extremos desenhamos internamente duas semicircunferências de diâmetro AO e OB, cada uma de raio r/2. Queremos encontrar o raio rho de uma circunferência interna que seja tangente à grande semicircunferência e às duas menores. Usaremos geometria analítica e relações de tangência entre círculos.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas com O=(0,0), A=(-r,0) e B=(r,0).
A grande semicircunferência é parte de
x^2 + y^2 = r^2, y>=0
As pequenas semicircunferências têm centros em C=(-,tfrac r2,0) e D=(tfrac r2,0), cada uma de raio r/2.
Seja a circunferência procurada de centro S=(0,h) e raio rho, simétrica em relação ao eixo y.
Passo 3
Para que a circunferência de centro S e raio rho seja tangente internamente à grande semicircunferência, a distância OS mais rho deve ser igual a r:
OS + rho = r Longrightarrow h + rho = r Longrightarrow h = r - rho
Passo 4
Para que ela seja tangente externamente à semicircunferência de centro D=(tfrac r2,0) e raio r/2, a distância DS deve valer r/2 + rho: