Considere-se uma semicircunferência de diâmetro AOB=2 r. Construímos internamente duas novas semicircunferências com diâmetros OA e OB e uma circunferência tangente a essas três semicircunferências. Calcule a medida do raio dessa circunferência.

Passo 1

O enunciado trata de uma semicircunferência de diâmetro AB com AB=2r (raio r), em cujos extremos desenhamos internamente duas semicircunferências de diâmetro AO e OB, cada uma de raio r/2. Queremos encontrar o raio rho de uma circunferência interna que seja tangente à grande semicircunferência e às duas menores. Usaremos geometria analítica e relações de tangência entre círculos.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com O=(0,0), A=(-r,0) e B=(r,0).
  • A grande semicircunferência é parte de
x^2 + y^2 = r^2, y>=0
  • As pequenas semicircunferências têm centros em C=(-,tfrac r2,0) e D=(tfrac r2,0), cada uma de raio r/2.
  • Seja a circunferência procurada de centro S=(0,h) e raio rho, simétrica em relação ao eixo y.

Passo 3

Para que a circunferência de centro S e raio rho seja tangente internamente à grande semicircunferência, a distância OS mais rho deve ser igual a r:
OS + rho = r Longrightarrow h + rho = r Longrightarrow h = r - rho

Passo 4

Para que ela seja tangente externamente à semicircunferência de centro D=(tfrac r2,0) e raio r/2, a distância DS deve valer r/2 + rho:
DS = raizl(tfrac r2 - 0r)^2 + (0 - h)^2 = raizr^24 + h^2 = r2 + rho

Passo 5

Substituindo h = r - rho na equação de DS, obtemos
raizr^24 + (r - rho)^2 = r2 + rho
Elevando ao quadrado e simplificando, vem
r^24 + r^2 - 2rrho + rho^2 = r^24 + rrho + rho^2 Longrightarrow r^2 = 3rrho Longrightarrow rho = r3

Resposta

rho = r3.

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