Num triângulo isósceles de altura 8, inscreve-se uma circunferência de raio 3. Calcule a medida da base do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 8 e cujo raio do incírculo é 3. Precisamos achar a medida da base. Vamos usar a relação do raio do incírculo com a área e o semiperímetro, além da geometria do triângulo isósceles.

Passo 2

Seja b a base e L cada um dos lados iguais. A altura de 8 divide a base em dois segmentos de comprimento b/2, gerando um triângulo retângulo em que
L^2 = 8^2 + l(tfracb2r)^2

Passo 3

A área do triângulo é
A = b cdot 82 = 4b,
e o semiperímetro vale
s = b + 2L2
Como o raio do incírculo satisfaz
r = As,
temos
3 = 4bb + 2L2 = 8bb + 2L

Passo 4

Da equação tfrac8bb + 2L = 3 segue
8b = 3(b + 2L)implies 5b = 6Limplies b = 65L

Passo 5

Substituindo b = tfrac65L em
L^2 = 64 + l(tfracb2r)^2, obtemos
L^2 = 64 + l(tfractfrac65L2r)^2 = 64 + l(tfrac6L10r)^2 = 64 + 36100L^2 = 64 + 925L^2
Isolando L^2,
L^2 - 925L^2 = 64 implies 1625L^2 = 64 implies L^2 = 100 implies L = 10
Logo
b = 65cdot 10 = 12

Resposta

12

Exercícios de Livros Relacionados