Sobre os lados de um quadrado, desenhamos externamente quatro triângulos isósceles com alturas relativas às bases iguais a 3 cm . Determine o perímetro do quadrado, sabendo que os vértices dos quatro triângulos pertencem a uma mesma circunferência de raio igual a 3(raiz2+2) cm.

Passo 1

O enunciado diz que temos um quadrado de lado s e, em cada lado, construímos externamente um triângulo isósceles cuja altura relativa à base (o próprio lado do quadrado) mede 3,cm. Os quatro vértices (ápices) desses triângulos estão em uma mesma circunferência de raio
R = 3(raiz2+2),cm
Precisamos achar o perímetro do quadrado, isto é, 4s.

Passo 2

Para visualizar melhor, coloque o quadrado com centro na origem do plano e lados paralelos aos eixos. Assim os vértices do quadrado são l(pm tfracs2,pm tfracs2r).
Cada triângulo tem base igual ao lado do quadrado e altura 3 perpendicular ao lado, então o ápice fica no ponto médio do lado mais um deslocamento de 3 para fora.

Passo 3

Os quatro ápices ficam, coordenadamente, em
A1=(0,tfracs2+3), A2=(tfracs2+3,0), A3=(0,-tfracs2-3), A4=(-tfracs2-3,0)
Pela simetria de 90^circ deles, o centro da circunferência que passa por esses pontos é a origem (0,0), e o raio é
distância de (0,0) a A1 = l|tfracs2+3r| = tfracs2+3 â

Passo 4

Como esse raio deve ser igual a R=3(raiz2+2), temos
tfracs2+3 = 3(raiz2+2)
Isolando s:
tfracs2 = 3(raiz2+2) - 3 = 3raiz2+6 -3 = 3raiz2+3,
s = 2l(3raiz2+3r) = 6raiz2+6

Passo 5

O perímetro do quadrado é 4s, logo
4s = 4l(6raiz2+6r) = 24raiz2 +24 = 24l(raiz2+1r),cm

Resposta

O perímetro do quadrado é
boxed24l(raiz2+1r),cm

Exercícios de Livros Relacionados