(UF-AM) Considere a sequência infinita de triângulos equiláteros T1, T2, ldots, Tn, ldots onde os vértices de cada triângulo Tn são os pontos médios do triângulo Tn-1 a partir de T2. Sabendo que o lado de T1 mede 2 cm , a soma dos perímetros dos infinitos triângulos vale:
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 4 cm
d) 14 cm
e) 11 cm

Passo 1

O enunciado dá uma sequência de triângulos equiláteros T1,T2,dots em que cada Tn tem vértices nos pontos médios de Tn-1. O lado de T1 mede 2,cm. Pede-se a soma dos perímetros de todos os triângulos infinitos. Vamos usar semelhança de triângulos e soma de série geométrica.

Passo 2

Como os vértices de Tn são os pontos médios de Tn-1, cada lado de Tn vale metade do lado de Tn-1. Sejam elln os comprimentos dos lados. Então
elln=elln-12,
com ell1=2. Por recorrência segue
elln=2cdotl(tfrac12r)^n-1

Passo 3

O perímetro de um triângulo equilátero de lado elln é
Pn=3,elln=3cdot 2cdotl(tfrac12r)^n-1 =6cdotl(tfrac12r)^n-1

Passo 4

A soma dos perímetros é a série infinita
S=sumn=1^inftyPn =6sumn=1^inftyl(tfrac12r)^n-1 =6sumk=0^inftyl(tfrac12r)^k =6cdot11-tfrac12 =12

Passo 5

Portanto, a soma dos perímetros de todos os triângulos é 12,cm, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) 12 cm

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