(UF-AM) Considere a sequência infinita de triângulos equiláteros
onde os vértices de cada triângulo
são os pontos médios do triângulo
a partir de
. Sabendo que o lado de
mede 2 cm , a soma dos perímetros dos infinitos triângulos vale:
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 4 cm
d) 14 cm
e) 11 cm
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 4 cm
d) 14 cm
e) 11 cm
Passo 1
O enunciado dá uma sequência de triângulos equiláteros
em que cada
tem vértices nos pontos médios de
. O lado de
mede
,cm. Pede-se a soma dos perímetros de todos os triângulos infinitos. Vamos usar semelhança de triângulos e soma de série geométrica.
Passo 2
Como os vértices de
são os pontos médios de
, cada lado de
vale metade do lado de
. Sejam
os comprimentos dos lados. Então
com
. Por recorrência segue
Passo 3
O perímetro de um triângulo equilátero de lado
é
Passo 4
A soma dos perímetros é a série infinita
Passo 5
Portanto, a soma dos perímetros de todos os triângulos é
,cm, que corresponde à alternativa (b).
Resposta
(b)
cm