(Olimpiada da Holanda-92) Quatro dados não-viciados são jogados. Qual é a probabilidade que o produto dos números que aparecem nas faces superiores dos dados seja 36?
Passo 1
O enunciado diz que lançamos quatro dados não-viciados (faces
a
) e queremos a probabilidade de que o produto das faces superiores seja
. Como cada resultado de quatro dados é igualmente provável e há
resultados possíveis, basta contar quantos quádruplos
têm
e depois dividir por
.
Passo 2
Primeiro fatoramos
Cada face
pode ser
, mas valores que trazem fator
(isto é, a face
) não podem aparecer, pois introduziriam o fator
. Para os demais valores anotamos o par
de expoentes de
e
:
Queremos somar quatro desses vetores e obter
.
Passo 3
Seja
Precisamos achar todas as soluções inteiras não negativas ((a,b,c,d,e)].
Passo 4
Da equação
surgem três casos:
Caso
,
. Então
, cujas soluções não negativas são
(então
) e
(então
).
Caso
,
. Então
, só podendo ter
e assim
.
Caso
,
. Então
força
e
.
Isso gera exatamente quatro tipos de combinação de faces:
- dois
s e dois s, - uma face
, duas s e uma , - uma face
, uma , uma e uma , - duas faces
e duas .
Passo 5
Para cada tipo contamos as permutações das quatro faces:
Tipo 1: dois
s e dois
s
Tipo 2: uma
, duas
s e uma
Tipo 3: uma
, uma
, um
e uma
Tipo 4: duas
s e duas
s
Somando dá
resultados favoráveis.
Passo 6
Como há
resultados em total, a probabilidade é