(Olimpiada da Holanda-92) Quatro dados não-viciados são jogados. Qual é a probabilidade que o produto dos números que aparecem nas faces superiores dos dados seja 36?

Passo 1

O enunciado diz que lançamos quatro dados não-viciados (faces 1 a 6) e queremos a probabilidade de que o produto das faces superiores seja 36. Como cada resultado de quatro dados é igualmente provável e há 6^4 resultados possíveis, basta contar quantos quádruplos (d_1,d_2,d_3,d_4) têm d_1d_2d_3d_4=36 e depois dividir por 6^4.

Passo 2

Primeiro fatoramos
36 = 2^2\cdot 3^2.
Cada face d_i pode ser 1,2,3,4,5,6, mas valores que trazem fator 5 (isto é, a face 5) não podem aparecer, pois introduziriam o fator 5. Para os demais valores anotamos o par (e_2,e_3) de expoentes de 2 e 3:
1\to(0,0),\quad 2\to(1,0),\quad 3\to(0,1),\quad 4\to(2,0),\quad6\to(1,1).
Queremos somar quatro desses vetores e obter (2,2).

Passo 3

Seja a,b,c,d,e\) o número de faces iguais a \(4,2,3,6,1\), respectivamente. Então \[\begin{cases} a + b + c + d + e = 4,\\\\ 2a + b + d = 2,\\\ c + d = 2. \end{cases}
Precisamos achar todas as soluções inteiras não negativas ((a,b,c,d,e)].

Passo 4

Da equação c + d = 2 surgem três casos:
Caso d=0, c=2. Então 2a+b=2, cujas soluções não negativas são (a,b)=(0,2) (então e=0) e (a,b)=(1,0) (então e=1).
Caso d=1, c=1. Então 2a+b=1, só podendo ter (a,b)=(0,1) e assim e=1.
Caso d=2, c=0. Então 2a+b=0 força (a,b)=(0,0) e e=2.
Isso gera exatamente quatro tipos de combinação de faces:
  1. dois 2s e dois 3s,
  2. uma face 4, duas 3s e uma 1,
  3. uma face 2, uma 3, uma 6 e uma 1,
  4. duas faces 6 e duas 1.

Passo 5

Para cada tipo contamos as permutações das quatro faces:
Tipo 1: dois 2s e dois 3s
\displaystyle\frac{4!}{2!\,2!}=6
Tipo 2: uma 4, duas 3s e uma 1
\displaystyle\frac{4!}{2!}=12
Tipo 3: uma 2, uma 3, um 6 e uma 1
4!=24
Tipo 4: duas 6s e duas 1s
\displaystyle\frac{4!}{2!\,2!}=6
Somando dá 6 + 12 + 24 + 6 = 48 resultados favoráveis.

Passo 6

Como há 6^4 = 1296 resultados em total, a probabilidade é
\frac{48}{1296} = \frac{1}{27}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{27}

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