Considere o triângulo ABC , em que e . Sobre o lado tomamos um ponto D tal que B D=3 cm e pelo ponto D traçamos DE e DF respectivamente paralelos a AC e AB, com E em AB e F em AC. Calcule o perímetro de AEDF.
Passo 1
O enunciado dá o triângulo ABC isósceles com AB=AC=5 cm e BC=7 cm. Em BC tomamos D tal que BD=3 cm e DC=4 cm. De D traçamos DEparal<=l AC (com E em AB) e DFparal<=l AB (com F em AC). Queremos o perímetro do quadrilátero AEDF. O conteúdo principal é semelhança de triângulos com paralelas.
Passo 2
Como DEparal<=l AC, os triângulos BDE e BAC são semelhantes. A razão de semelhança é
BDBC=37
Logo
BEBA=37eDEAC=37
Como BA=AC=5, segue
BE=37cdot5=157, DE=37cdot5=157
Passo 3
Como DFparal<=l AB, os triângulos CDF e CAB são semelhantes. A razão de semelhança é
CDCB=47
Logo
CFCA=47eDFAB=47
Como CA=AB=5, segue
CF=47cdot5=207, DF=47cdot5=207
Passo 4
Agora E está em AB, então
AE=AB - BE=5 - 157=207,
e F está em AC, então
AF=AC - CF=5 - 207=157
Os lados de AEDF são
AE=207, ED=157, DF=207, FA=157
Logo o perímetro é
AE+ED+DF+FA =20+15+20+157 =707 =10 (cm)
Resposta
O perímetro de AEDF é 10 cm.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 187