Determine as medidas dos três ângulos de um triângulo, sabendo que o segundo é 32 do primeiro e que o terceiro é a semissoma dos dois primeiros.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo cujos três ângulos alpha, beta e gamma satisfazem
beta = tfrac32alpha e gamma = tfracalpha + beta2. Vamos usar a propriedade de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^circ.

Passo 2

Expressamos beta e gamma em função de alpha. Da primeira relação,
beta = tfrac32alpha
Substituindo em gamma = tfracalpha + beta2 obtemos
gamma = tfracalpha + tfrac32alpha2 = tfrac54alpha

Passo 3

Aplicamos a soma dos ângulos:
alpha + beta + gamma = 180^circ
alpha + tfrac32alpha + tfrac54alpha = 180^circ
Somando os coeficientes:
l(1 + 1,5 + 1,25r)alpha = 3,75,alpha = 180^circ
alpha = 1803,75 = 48^circ

Passo 4

Com alpha = 48^circ, calculamos
beta = tfrac32cdot48^circ = 72^circ,
gamma = tfrac48^circ + 72^circ2 = 60^circ

Resposta

alpha = 48^circ, beta = 72^circ, gamma = 60^circ.

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