Considere um triângulo ABC onde
. Marcam-se sobre o lado AB os pontos D e E de modo que os segmentos CD e CE dividem o ângulo C em três partes iguais. Sabendo que
, calcule os valores de CD e CE em função de
e n.
Passo 1
Temos o triângulo
com
,
e o ângulo
dividido em três partes iguais por
e
. Pede-se expressar
em função de
e da razão
Para isso vamos
. colocar
na origem e usar coordenadas para obter fórmulas fechadas de
e
em termos de
, onde
;
. impor
para eliminar
;
. chegar às fórmulas finais de
e
em termos de
.
Passo 2
Colocamos
onde
. A reta
é o lugar geométrico dos pontos
O ponto
está na interseção dessa reta com o raio que faz ângulo
em
, i.e.\
. Resolvendo
obtemos
Analogamente, para
(ângulo
)
Passo 3
Tomando a razão
multiplicando cruza-cruz, obtemos
Reagrupando e usando
, chega-se a
Passo 4
Chamando
temos
Substituímos em
obtendo, após simplificar por identidades em
e fatorar
,
Como
, temos