Considere um triângulo ABC onde \mathrm{AC}=\mathrm{b} \mathrm{e} \mathrm{BC}=\mathrm{a}. Marcam-se sobre o lado AB os pontos D e E de modo que os segmentos CD e CE dividem o ângulo C em três partes iguais. Sabendo que \mathrm{CE} / \mathrm{CD}=\mathrm{m} / \mathrm{n}, calcule os valores de CD e CE em função de a, b, m e n.

Passo 1

Temos o triângulo ABC com AC=b, BC=a e o ângulo \angle ACB dividido em três partes iguais por CD e CE. Pede-se expressar
CD,\;CE
em função de a,b e da razão
\frac{CE}{CD} = \frac{m}{n}.
Para isso vamos
1. colocar C na origem e usar coordenadas para obter fórmulas fechadas de CD e CE em termos de \theta, onde \theta=\tfrac13\angle ACB;
2. impor \frac{CE}{CD}=m/n para eliminar \theta;
3. chegar às fórmulas finais de CD e CE em termos de a,b,m,n.

Passo 2

Colocamos
C=(0,0),\quad A=(b,0),\quad B=\bigl(a\cos3\theta,\;a\sin3\theta\bigr),
onde 3\theta=\angle ACB. A reta AB é o lugar geométrico dos pontos
A + t\bigl(B-A\bigr)=\bigl(b,0\bigr)+t\bigl(a\cos3\theta - b,\;a\sin3\theta\bigr),\quad t\in[0,1].
O ponto D está na interseção dessa reta com o raio que faz ângulo \theta em C, i.e.\ s(\cos\theta,\sin\theta). Resolvendo
(b,0)+t(u,v)=s(\cos\theta,\sin\theta), \quad u=a\cos3\theta - b,\;v=a\sin3\theta,
obtemos
CD = s = \frac{b\,v}{\,v\cos\theta - u\sin\theta\,} = \frac{a\,b\sin3\theta}{\,a\sin2\theta + b\sin\theta\,}.
Analogamente, para E (ângulo 2\theta)
CE = \frac{a\,b\sin3\theta}{\,a\sin\theta + b\sin2\theta\,}.

Passo 3

Tomando a razão
\frac{CE}{CD} = \frac{\,a\sin2\theta + b\sin\theta\,}{\,a\sin\theta + b\sin2\theta\,} \overset!=\frac{m}{n},
multiplicando cruza-cruz, obtemos
n\bigl(a\sin2\theta + b\sin\theta\bigr) = m\bigl(a\sin\theta + b\sin2\theta\bigr).
Reagrupando e usando \sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta, chega-se a
2\cos\theta = \frac{m\,a - n\,b}{n\,a - m\,b}.

Passo 4

Chamando
p = m\,a - n\,b, \quad q = n\,a - m\,b,
temos
\cos\theta = \frac{p}{2q}.
Substituímos em
CD = \frac{a\,b\,(4\cos^2\theta - 1)}{\,2a\cos\theta + b\,},
obtendo, após simplificar por identidades em p,q e fatorar a^2-b^2,
CD = \frac{a\,b\,(m^2 - n^2)}{\,m\,(n\,a - m\,b)\,} =\frac{a\,b\,(m^2-n^2)}{m\,q}.
Como CE = \tfrac{m}{n}\,CD, temos
CE = \frac{a\,b\,(m^2 - n^2)}{\,n\,(n\,a - m\,b)\,} =\frac{a\,b\,(m^2-n^2)}{n\,q}.

Resposta

CD = \frac{a\,b\,(m^2 - n^2)}{\,m\,(n\,a - m\,b)\,}, \qquad CE = \frac{a\,b\,(m^2 - n^2)}{\,n\,(n\,a - m\,b)\,}.

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