(ITA-93) Num triângulo ABC , retângulo em A, seja D a projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento BC mede
e que o ângulo DÂC mede
graus, então a área do triângulo ABC vale:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado trata de um triângulo
retângulo em
. Sobre a hipotenusa
(de comprimento
) desenhamos a altura
. O ângulo dado é
isto é, o ângulo entre os segmentos
e
. Queremos calcular a área de
em função de
e
.
Passo 2
Denotemos por
Como
é retângulo em
, vale
e a área é
Passo 3
No triângulo
(retângulo em
), o lado oposto a
é
e o lado adjacente é
, enquanto
é a hipotenusa. Assim,
Mas, pela propriedade da projeção da altura num triângulo retângulo,
Passo 4
Substituindo em
temos
Analogamente, de
segue
Passo 5
Finalmente, a área do triângulo é
Resposta
Nenhuma das alternativas dadas coincide exatamente com esta expressão. A forma mais simples é
que tampouco está entre as opções. Portanto, não há alternativa correta entre (a) a (d).