(ITA-93) Num triângulo ABC , retângulo em A, seja D a projeção de A sobre BC. Sabendo-se que o segmento BC mede \ell \mathrm{cm} e que o ângulo DÂC mede \theta graus, então a área do triângulo ABC vale:
a) \left(\ell^{2} / 2\right) \operatorname{sec} \theta \operatorname{tg} \theta
b) \left(c^{2} / 2\right) \operatorname{sec} ^{2} \theta \operatorname{tg} \theta
c) \left(\ell^{2} / 2\right) \operatorname{sec} \theta \operatorname{tg}^{2} \theta
d) \left(c^{2} / 2\right) \operatorname{cossec} \theta \operatorname{tg} \theta

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo ABC retângulo em A. Sobre a hipotenusa BC (de comprimento \ell) desenhamos a altura AD. O ângulo dado é
\widehat{DÂC} = \theta,Â
isto é, o ângulo entre os segmentos AD e AC. Queremos calcular a área de ABC em função de \ell e \theta.

Passo 2

Denotemos por
AB = a,\quad AC = b,\quad BC = \ell.
Como ABC é retângulo em A, vale
a^2 + b^2 = \ell^2
e a área é
\mathcal{A} = \tfrac12\,a\,b.

Passo 3

No triângulo ADC (retângulo em D), o lado oposto a \theta é DC e o lado adjacente é AD, enquanto AC=b é a hipotenusa. Assim,
\sin\theta = \frac{DC}{b}, \quad \cos\theta = \frac{AD}{b}.
Mas, pela propriedade da projeção da altura num triângulo retângulo,
DC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{b^2}{\ell}, \quad AD = \frac{a\,b}{\ell}.

Passo 4

Substituindo em \sin\theta = DC/b temos
\sin\theta = \frac{b^2/\ell}{b} = \frac{b}{\ell} \quad\Longrightarrow\quad b = \ell\,\sin\theta.
Analogamente, de a^2 + b^2 = \ell^2 segue
a^2 = \ell^2 - b^2 = \ell^2(1-\sin^2\theta) = \ell^2\cos^2\theta \quad\Longrightarrow\quad a = \ell\,\cos\theta.

Passo 5

Finalmente, a área do triângulo é
\mathcal{A} = \frac12\,a\,b = \frac12\,(\ell\cos\theta)\,(\ell\sin\theta) = \frac{\ell^2}{2}\,\sin\theta\cos\theta.

Resposta

\frac{\ell^2}{2} \sin\theta \cos\theta
Nenhuma das alternativas dadas coincide exatamente com esta expressão. A forma mais simples é
\mathcal{A} = \frac{\ell^2}{4} \sin(2\theta),
que tampouco está entre as opções. Portanto, não há alternativa correta entre (a) a (d).

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