Consideremos a elipse dada pelas equações paramétricas x=a cos phi, y=b sen phi e b>a>0. Mostrar que o comprimento do arco de phi=0 a phi=alpha é dado por
s=b integral0^alpha raiz1-k^2 sen^2 phi d phi, k^2=b^2-a^2b^2

Passo 1

O enunciado dá a elipse parametrizada por
x = acosphi, y = bsinphi,
com b>a>0, e pede o comprimento do arco desde phi=0 até phi=alpha. Para curvas paramétricas em phi, usamos a fórmula de comprimento de arco
s = integral0^alpha raizl(tfracdxdphir)^2 + l(tfracdydphir)^2;dphi

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a phi:
tfracdxdphi = -,asinphi, tfracdydphi =; bcosphi

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento, o integrando fica
raiz(-asinphi)^2 + (bcosphi)^2 = raiza^2sin^2phi ;+; b^2cos^2phi

Passo 4

Fatoramos b^2 dentro da raiz:
raiza^2sin^2phi + b^2cos^2phi = b,raiza^2b^2sin^2phi + cos^2phi = b,raiz1 - l(1-a^2b^2r)sin^2phi
Definindo
k^2 = b^2-a^2b^2,
temos
raiz1 - l(1-a^2b^2r)sin^2phi = raiz1 - k^2sin^2phi

Resposta

s ;=; b integral0^alpha raiz1 - k^2sin^2phi;dphi, k^2 = b^2-a^2b^2

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