A função
(de base
, subentende-se) pode ser definida pela equação
(a) Usando essa equação, dar o valor aproximado de
.
(b) Provar, a partir da equação (a), que
é definido e continuo para
, e que
(c) Provar que
, para
e
. [Sugest
: considerar
. Usando o resultado de (b), mostrar que
, de modo que
const. Calcular essa constante tomando
.]
(b) Provar, a partir da equação (a), que
Passo 1
O enunciado define
e pede:
(a) valores aproximados de ,
,
;
(b) mostrar que está bem definido, é contínuo em
e que
(a) valores aproximados de
(b) mostrar que
(c) provar que
Passo 2
Cálculo de (a):
–
–
.
Sabemos numericamente que
–
–
Sabemos numericamente que
portanto
.
–
–
Passo 3
Prova de (b):
A função é contínua em qualquer intervalo contido em
. Logo, o integral
existe para todo e define uma função contínua em
.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
é
A função
existe para todo
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
é
Passo 4
Prova de (c):
Defina
Defina
Usando o resultado de (b),
Como
,
é constante. Para
temos
logo
e
Resposta
(a)
,
,
.
(b) existe e é contínuo em
, com
.
(c) .
(b)
(c)