A função log x (de base e, subentende-se) pode ser definida pela equação
log x=integral1^x d tt, x>0
(a) Usando essa equação, dar o valor aproximado de log 1, log 2, log (1 / 2).
(b) Provar, a partir da equação (a), que log x é definido e continuo para 0<x<infty, e que
d log xd x=1x
(c) Provar que log (a x)=log a+log x, para a>0 e x>0. [Sugest tildex 0 : considerar F(x)=log (a x)-log x. Usando o resultado de (b), mostrar que F^prime(x) equiv 0, de modo que F(x) equiv const. Calcular essa constante tomando x=1.]

Passo 1

O enunciado define
log x = integral1^x dtt, x>0
e pede:
(a) valores aproximados de log1, log2, log(1/2);
(b) mostrar que log x está bem definido, é contínuo em (0,infty) e que
ddxlog x = 1x;
(c) provar que
log(ax)=log a + log x, a>0,;x>0

Passo 2

Cálculo de (a):

log1 = integral1^1dtt = 0

log2 = integral1^2dtt.
Sabemos numericamente que
integral1^2dttapprox 0,693,
portanto log2approx 0,693.

log(1/2)= integral1^1/2dtt=-integral1/2^1dtt=-log2approx -0,693

Passo 3

Prova de (b):
A função tmapsto1/t é contínua em qualquer intervalo contido em (0,infty). Logo, o integral
integral1^x1/t,dt
existe para todo x>0 e define uma função contínua em (0,infty).
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
log x = integral1^x1/t,dt
é
ddxlog x = ddxintegral1^xdtt = 1x

Passo 4

Prova de (c):
Defina
F(x)=log(ax)-log x
Usando o resultado de (b),
F'(x) = ddxlog(ax) - ddxlog x = 1axcdot a - 1x = 1x-1x = 0
Como F'(x)equiv0, F(x) é constante. Para x=1 temos
F(1)=log(acdot1)-log1=log a-0=log a,
logo F(x)equivlog a e
log(ax)=log a+log x

Resposta

(a) log1=0, log2approx0,693, log(1/2)approx-0,693.
(b) log x existe e é contínuo em (0,infty), com ddxlog x=1/x.
(c) log(ax)=log a+log x.

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