Seja f(x) contínua para a <=q x <=q b.
(a) Demonstrar que
dd x integralx^b f(t) d t=-f(x), a <=q x <=q b
(b) Demonstrar que
dd x integrala^x^2 f(t) d t=2 x f(x^2), a <=q x^2 <=q b
[Sugestão: seja u=x^2, de modo que a integral é uma função F(u). Então, pela regra da função composta. dd x F(u)=F^prime(u) d ud x cdot ]
(c) Demonstrar que
dd x integralx^2^b f(t) d t=-2 x f(x^2), a <=q x^2 <=q b
(d) Demonstrar que
dd x integralx^2^x^3 f(t) d t=3 x^2 f(x^3)-2 x f(x^2), a <=q x^2 <=q b, a <=q x^3 <=q b
[Sugestão: sejam u=x^2, v=x^3. Então a integral é F(u, v). Em virtude da regra da cadeia,
dd x F(u, v)=partial Fpartial u d ud x+partial Fpartial v d vd x cdot]

Passo 1

O enunciado nos dá uma função contínua em [a,b] e pede a derivada de integrais cujos limites dependem de x. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que ddu!integralc^uf(t),dt = f(u) quando f é contínua) e a Regra da Cadeia (para funções compostas).

Passo 2

Para (a), considere a função
G(x) ;=;integralx^bf(t),dt
Podemos reescrevê-la usando uma primitiva F de f, ou seja,
F(u)=integrala^uf(t),dt Longrightarrow G(x)=F(b)-F(x)
Então, aplicando derivada,
G'(x) = 0 - F'(x) = -f(x)
Logo,
ddxintegralx^bf(t),dt = -f(x)

Passo 3

Para (b), defina
H(x)=integrala^x^2f(t),dt
Seja u=x^2. Então H(x)=F(u) com F(u)=integrala^uf(t),dt. Pela Regra da Cadeia,
H'(x) = F'(u),dudx = f(u)cdot 2x = 2x,fl(x^2r)
Portanto,
ddxintegrala^x^2f(t),dt = 2x,fl(x^2r)

Passo 4

Para (c), considere
J(x)=integralx^2^bf(t),dt
e defina u=x^2. Então J(x)=G(u) com G(u)=integralu^bf(t),dt. Sabendo de (a) que G'(u)=-f(u) e aplicando a Regra da Cadeia,
J'(x) = G'(u),dudx = -f(u)cdot 2x = -2x,fl(x^2r)
Logo,
ddxintegralx^2^bf(t),dt = -2x,fl(x^2r)

Passo 5

Para (d), defina os limites u=x^2 e v=x^3 e a função de duas variáveis
K(u,v)=integralu^vf(t),dt
As derivadas parciais são
partial Kpartial u = -f(u), partial Kpartial v = f(v)
Pela Regra da Cadeia em duas variáveis,
ddxKl(x^2,x^3r) = partial Kpartial u,dudx + partial Kpartial v,dvdx = -f(u)cdot 2x + f(v)cdot 3x^2
Substituindo u=x^2 e v=x^3, vem
ddxintegralx^2^x^3f(t),dt = 3x^2fl(x^3r) - 2x,fl(x^2r)

Resposta

(a) ddxintegralx^bf(t),dt = -f(x)
(b) ddxintegrala^x^2f(t),dt = 2x,fl(x^2r)
(c) ddxintegralx^2^bf(t),dt = -2x,fl(x^2r)
(d) ddxintegralx^2^x^3f(t),dt = 3x^2fl(x^3r) - 2x,fl(x^2r)

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