Seja
contínua para
.
(a) Demonstrar que
(b) Demonstrar que
[Sugestão: seja
, de modo que a integral é uma função
. Então, pela regra da função composta.
]
(c) Demonstrar que
(d) Demonstrar que
[Sugestão: sejam
. Então a integral é
. Em virtude da regra da cadeia,
(a) Demonstrar que
(c) Demonstrar que
Passo 1
O enunciado nos dá uma função contínua em
e pede a derivada de integrais cujos limites dependem de
. Para resolver, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (que diz que
quando
é contínua) e a Regra da Cadeia (para funções compostas).
Passo 2
Para (a), considere a função
Podemos reescrevê-la usando uma primitiva
de
, ou seja,
Então, aplicando derivada,
Logo,
Passo 3
Para (b), defina
Seja
. Então
com
. Pela Regra da Cadeia,
Portanto,
Passo 4
Para (c), considere
e defina
. Então
com
. Sabendo de (a) que
e aplicando a Regra da Cadeia,
Logo,
Passo 5
Para (d), defina os limites
e
e a função de duas variáveis
As derivadas parciais são
Pela Regra da Cadeia em duas variáveis,
Substituindo
e
, vem
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)