Define-se a Função do Erro, y=erf(x), pela equação:
y=erf(x)=integral0^x e^-t^2 d t
Essa função tem grande importância em probabilidade e estatística, e suas tabelas aparecem nos livros citados após a Eq. (4-23). Estabelecer as seguintes propriedades:
(a) erf(x) é definida e contínua para todo x;
(b) erf(-x)=-erf(x);
(c) -1<erf(x)<1 para todo x.

Passo 1

O enunciado define a função do erro
erf(x)=integral0^xe^-t^2,dt
e pede para mostrar:
(a) que erf(x) está definida e é contínua em todo R;
(b) que erf(-x)=-erf(x);
(c) que para todo x vale -1<erf(x)<1.
Para isso vamos usar teoria de integrais de funções contínuas, mudança de variável e o valor da integral gaussiana no infinito.

Passo 2

Como a função tmapsto e^-t^2 é contínua em R, a integral
F(x)=integral0^xe^-t^2,dt
está bem definida para todo x. Além disso, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, F é diferenciável e logo contínua em todo R. Assim, erf(x)=F(x) existe e é contínua para todo x.

Passo 3

Para provar que erf é ímpar, consideremos x>0. Usando a mudança de variável t=-u em
erf(-x)=integral0^-xe^-t^2,dt
temos limites trocados e dt=-du, então
erf(-x) =integral0^-xe^-t^2,dt =integral0^xe^-(-u)^2(-du) =-integral0^xe^-u^2,du =-erf(x)
Logo erf(-x)=-erf(x).

Passo 4

Para x>=0, a função é crescente (integranda não negativa) e tem limite finito no infinito, pois é conhecido que
integral0^inftye^-t^2,dt=raizpi2<1
Logo, para todo x>=0,
0<=erf(x)<raizpi2<1
Pelo ímpar demonstrado, para x<0 vale erf(x)=-erf(-x) e assim
-1<-raizpi2<erf(x)<=0
Combinando os dois casos, para todo x obtemos -1<erf(x)<1.

Resposta

(a) A integranda e^-t^2 é contínua em R, logo erf(x)=integral0^xe^-t^2dt existe e é contínua em todo x.
(b) Fazendo t=-u em integral0^-xe^-t^2dt obtém-se erf(-x)=-erf(x).
(c) Como erf(x) é crescente para x>=0 e limxtoinftyerf(x)=raizpi2<1, e usa-se a ímparidade para x<0, conclui-se que -1<erf(x)<1 para todo x.

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