Define-se a Função do Erro,
, pela equação:
Essa função tem grande importância em probabilidade e estatística, e suas tabelas aparecem nos livros citados após a Eq. (4-23). Estabelecer as seguintes propriedades:
(a)
é definida e contínua para todo
;
(b)
;
(c)
para todo
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define a função do erro
e pede para mostrar:
(a) que está definida e é contínua em todo
;
(b) que ;
(c) que para todo vale
.
Para isso vamos usar teoria de integrais de funções contínuas, mudança de variável e o valor da integral gaussiana no infinito.
(a) que
(b) que
(c) que para todo
Para isso vamos usar teoria de integrais de funções contínuas, mudança de variável e o valor da integral gaussiana no infinito.
Passo 2
Como a função
é contínua em
, a integral
está bem definida para todo
. Além disso, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
é diferenciável e logo contínua em todo
. Assim,
existe e é contínua para todo
.
Passo 3
Para provar que
é ímpar, consideremos
. Usando a mudança de variável
em
temos limites trocados e
, então
Logo
.
Passo 4
Para
, a função é crescente (integranda não negativa) e tem limite finito no infinito, pois é conhecido que
Logo, para todo
,
Pelo ímpar demonstrado, para
vale
e assim
Combinando os dois casos, para todo
obtemos
.
Resposta
(a) A integranda
é contínua em
, logo
existe e é contínua em todo
.
(b) Fazendo em
obtém-se
.
(c) Como é crescente para
e
, e usa-se a ímparidade para
, conclui-se que
para todo
.
(b) Fazendo
(c) Como