Prove que as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo cortam-se em ângulo reto.

Passo 1

Vamos trabalhar num paralelogramo ABCD e provar que as bissetrizes dos ângulos ang<= A e ang<= B (ângulos consecutivos) se intersectam em 90^circ.
Conteúdos que vamos usar:
  1. Ângulos adjacentes num paralelogramo são suplementares, isto é, ang<= A+ang<= B=180^circ.
  2. Em qualquer triângulo, a soma dos três ângulos internos é 180^circ.
  3. Se uma reta é bissetriz de um ângulo de medida 2alpha, ela divide esse ângulo em dois de medida alpha.

Passo 2

Seja ang<= A = 2alpha e ang<= B = 2beta. Como ABCD é paralelogramo,
ang<= A + ang<= B = 180^circ
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2alpha + 2beta = 180^circ Longrightarrow alpha + beta = 90^circ

Passo 3

Sejam as bissetrizes de ang<= A e de ang<= B as semi-retas AP e BP, que se encontram em P. No triângulo ABP:
  • Como AP é bissetriz de ang<= A=2alpha, temos ang<= PAB=alpha.
  • Como BP é bissetriz de ang<= B=2beta, temos ang<= PBA=beta.
    Pela soma dos ângulos em triang<= ABP:
ang<= APB = 180^circ - (ang<= PAB + ang<= PBA) = 180^circ - (alpha + beta) = 180^circ - 90^circ = 90^circ

Resposta

As bissetrizes dos ângulos consecutivos de um paralelogramo se cortam formando um ângulo reto ( 90^circ).

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