Consideremos um triângulo A B C de lado B C=10 cm. Seja um segmento C D interno ao triângulo tal que D seja um ponto do lado A B. Sabendo que B D=4 cm, e os ângulos B A C e B C D são congruentes, determine a medida de A D.

Passo 1

Vamos resumir o que diz o enunciado e o que queremos achar. Temos o triângulo ABC com BC=10,cm. Sobre o lado AB está um ponto D tal que BD=4,cm, e sabemos que
ang<= BAC = ang<= BCD
Chamamos de alpha=ang<= BAC, beta=ang<= ABC e gamma=ang<= ACB. Nosso objetivo é determinar AD. Para isso, vamos aplicar a Lei dos Senos nos triângulos ABC e BCD.

Passo 2

Analisando o triângulo BCD, seus lados são BD=4, BC=10 e CD (não precisamos do valor de CD diretamente). Os ângulos dele são
ang<= BCD=alpha, ang<= CBD=beta e ang<= BDC=180^circ-alpha-beta
Pela Lei dos Senos em BCD:
BDsinang<= BCD =BCsinang<= BDC Longrightarrow 4sinalpha =10sinl(180^circ-alpha-betar)
Como sin(180^circ-alpha-beta)=sin(alpha+beta), obtemos
sin(alpha+beta) =104,sinalpha =52,sinalpha

Passo 3

No triângulo ABC vale alpha+beta+gamma=180^circ, logo
alpha+beta=180^circ-gamma Longrightarrow sin(alpha+beta)=singamma
Comparando com o resultado do triângulo BCD, tiramos
singamma =52,sinalpha

Passo 4

Agora aplicamos a Lei dos Senos em ABC:
BCsinalpha =ABsingamma Longrightarrow AB =BC;singammasinalpha =10;singammasinalpha
Substituindo singamma=(52)sinalpha, vem
AB =10;tfrac52sinalphasinalpha =10cdot52 =25 cm
Como AB=AD+BD e BD=4,cm, segue
AD=AB-BD=25-4=21 cm

Resposta

A medida de AD é 21,cm.

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