Consideremos um triângulo retângulo isósceles de catetos um ponto E tomado sobre o prolongamento do cateto . Unindo B a E , temos o segmento BE, que é paralelo à bissetriz AD do ângulo reto A. Determine a área do triângulo CBE em função de a.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo isósceles com catetos . Um ponto está no prolongamento de além de , e queremos que seja paralelo à bissetriz do ângulo reto em . Precisamos determinar a área do triângulo em função de . Vamos usar geometria analítica: colocar vértices em coordenadas, achar impondo paralelismo e depois calcular a área via determinante.
Passo 2
Escolhemos coordenadas convenientes:
A=(0,0), B=(a,0), C=(0,a)
Nesse sistema, o cateto é o segmento vertical de a , e seu prolongamento além de é a reta vertical abaixo da origem.
Passo 3
Parametrizamos E = C + s,(A - C) = (0,a) + s,(0,-a) = l(0,,a(1 - s)r) no prolongamento de . Usando o parâmetro em
Em temos , e para estamos abaixo do eixo.
Passo 4
A bissetriz do ângulo reto em slope(BE) =yE-00 - a =a(1-s)-a =-l(1-sr) stackrel!=1 é a reta E=l(0,,a(1-2)r)=(0,-a) , de declive . Para queremos
Assim leva a , logo
Passo 5
Agora calculamos a área de EB=B-E=(a,a), EC=C-E=(0,2a) . Tome os vetores a partir de Área(CBE) =12l|det(EB,EC)r| =12l|acdot2a - acdot0r| =12cdot2a^2 =a^2 :
A área é
Á
Resposta
A área do triângulo é .
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 19.Exercícios - Ex. 874