Consideremos um triângulo retângulo isósceles A B C de catetos A B=A C=a e um ponto E tomado sobre o prolongamento do cateto CA. Unindo B a E , temos o segmento BE, que é paralelo à bissetriz AD do ângulo reto A. Determine a área do triângulo CBE em função de a.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo isósceles ABC com catetos AB=AC=a. Um ponto E está no prolongamento de CA além de A, e queremos que BE seja paralelo à bissetriz AD do ângulo reto em A. Precisamos determinar a área do triângulo CBE em função de a. Vamos usar geometria analítica: colocar vértices em coordenadas, achar E impondo paralelismo e depois calcular a área via determinante.

Passo 2

Escolhemos coordenadas convenientes:
A=(0,0), B=(a,0), C=(0,a)
Nesse sistema, o cateto AC é o segmento vertical de A a C, e seu prolongamento além de A é a reta vertical abaixo da origem.

Passo 3

Parametrizamos E no prolongamento de CA. Usando o parâmetro s>=1 em
E = C + s,(A - C) = (0,a) + s,(0,-a) = l(0,,a(1 - s)r)
Em s=1 temos E=A, e para s>1 estamos abaixo do eixo.

Passo 4

A bissetriz do ângulo reto em A é a reta y=x, de declive 1. Para BEparal<=l AD queremos
slope(BE) =yE-00 - a =a(1-s)-a =-l(1-sr) stackrel!=1
Assim - (1 - s)=1 leva a s=2, logo
E=l(0,,a(1-2)r)=(0,-a)

Passo 5

Agora calculamos a área de CBE. Tome os vetores a partir de E:
EB=B-E=(a,a), EC=C-E=(0,2a)
A área é
Área(CBE) =12l|det(EB,EC)r| =12l|acdot2a - acdot0r| =12cdot2a^2 =a^2 Á

Resposta

A área do triângulo CBE é a^2.

Exercícios de Livros Relacionados