Consideremos um triângulo retângulo isósceles de catetos um ponto E tomado sobre o prolongamento do cateto . Unindo B a E , temos o segmento BE, que é paralelo à bissetriz AD do ângulo reto A. Determine a área do triângulo CBE em função de a.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo isósceles ABC com catetos AB=AC=a. Um ponto E está no prolongamento de CA além de A, e queremos que BE seja paralelo à bissetriz AD do ângulo reto em A. Precisamos determinar a área do triângulo CBE em função de a. Vamos usar geometria analítica: colocar vértices em coordenadas, achar E impondo paralelismo e depois calcular a área via determinante.
Passo 2
Escolhemos coordenadas convenientes:
A=(0,0), B=(a,0), C=(0,a)
Nesse sistema, o cateto AC é o segmento vertical de A a C, e seu prolongamento além de A é a reta vertical abaixo da origem.
Passo 3
Parametrizamos E no prolongamento de CA. Usando o parâmetro s>=1 em
E = C + s,(A - C) = (0,a) + s,(0,-a) = l(0,,a(1 - s)r)
Em s=1 temos E=A, e para s>1 estamos abaixo do eixo.
Passo 4
A bissetriz do ângulo reto em A é a reta y=x, de declive 1. Para BEparal<=l AD queremos
slope(BE) =yE-00 - a =a(1-s)-a =-l(1-sr) stackrel!=1
Assim - (1 - s)=1 leva a s=2, logo
E=l(0,,a(1-2)r)=(0,-a)
Passo 5
Agora calculamos a área de CBE. Tome os vetores a partir de E:
EB=B-E=(a,a), EC=C-E=(0,2a)
A área é
Área(CBE) =12l|det(EB,EC)r| =12l|acdot2a - acdot0r| =12cdot2a^2 =a^2 Á
Resposta
A área do triângulo CBE é a^2.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 19.Exercícios - Ex. 874