5.2.14 Teste para convergência
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots(2 n)}\right]^{2}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}+\frac{25}{256}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\cdots(2n)}\right]^{2}.
O conteúdo é teste de convergência de séries numéricas. Vamos precisar encontrar uma expressão simples para o termo geral a_n, aplicar o teste da razão e, em seguida, analisar o comportamento assintótico de a_n.

Passo 2

Expressamos o produto de números ímpares e pares via fatorial duplo. Sabemos que
(2n-1)!! = 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^n\,n!}, \qquad (2n)!! = 2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^n\,n!.
Logo o termo dentro dos colchetes é
\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)} =\frac{(2n)!}{2^n\,n!}\;\bigg/\;\bigl(2^n\,n!\bigr) =\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^2}.
Então o termo geral da série é
a_n=\left[\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^2}\right]^2.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\left[\frac{\frac{(2n+2)!}{2^{2(n+1)}\,((n+1)!)^2}} {\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^2}}\right]^2 =\left[\frac{(2n+2)(2n+1)}{4\,(n+1)^2}\right]^2 =\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^2.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^2 =1,
o teste da razão é inconclusivo.

Passo 4

Para obtermos o comportamento de a_n em n\gg1, usamos o binomial central
\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\sim\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.
Assim
\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^2} =\frac{1}{2^{2n}}\binom{2n}{n} \sim\frac{1}{2^{2n}}\cdot\frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} =\frac{1}{\sqrt{\pi n}}.
Logo
a_n=\left[\frac{(2n)!}{2^{2n}\,(n!)^2}\right]^2 \sim\frac{1}{\pi\,n}.

Passo 5

Como a_n\sim1/(\pi n) quando n\to\infty, a série se comporta como
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\pi\,n} =\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n},
e a série harmônica diverge. Pelo teste de comparação assintótica, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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