5.2.13 (Do paradoxo de Olbers.) Admita um universo estático no qual as estrelas estão uniformemente distribuídas. Divida todo o espaço em cascas de espessura constante; as estrelas que estão em qualquer uma das cascas subtendem, por si sós, um ângulo sólido de
. Levando em conta o bloqueio de estrelas distantes por estrelas mais próximas, mostre que o ângulo sólido líquido total subtendido por todas as estrelas, com as cascas estendendo-se ao infinito, é exatamente
. [Portanto, o céu noturno deveria estar flamejante de luz. Se quiser mais detalhes, consulte E. Harrison, Darkness at Night: A Riddle of the Universe. Cambridge, MA: Harvard University Press (1987).]
Passo 1
O enunciado descreve um universo estático com estrelas uniformemente distribuídas. Dividimos o espaço em cascas de espessura fixa de modo que, se não houvesse bloqueio, as estrelas de cada casca subtenderiam um ângulo sólido total
. Precisamos levar em conta que estrelas mais próximas podem bloquear parte do céu, e mostrar que somando todas as cascas até o infinito o ângulo sólido líquido total é
.
Passo 2
Sem bloqueio, cada casca contribuiria com
. Com bloqueio, definimos
como a fração do céu que ainda está livre depois de processar as primeiras
cascas. A contribuição líquida da casca
será então
Passo 3
Cada casca bloqueia uma fração
do céu inteiro, de modo que
Isso leva a
Passo 4
O ângulo sólido total é a soma das contribuições de
até
:
Como para
vale
usando
obtemos