5.2.13 (Do paradoxo de Olbers.) Admita um universo estático no qual as estrelas estão uniformemente distribuídas. Divida todo o espaço em cascas de espessura constante; as estrelas que estão em qualquer uma das cascas subtendem, por si sós, um ângulo sólido de \omega_{0}. Levando em conta o bloqueio de estrelas distantes por estrelas mais próximas, mostre que o ângulo sólido líquido total subtendido por todas as estrelas, com as cascas estendendo-se ao infinito, é exatamente 4 \pi. [Portanto, o céu noturno deveria estar flamejante de luz. Se quiser mais detalhes, consulte E. Harrison, Darkness at Night: A Riddle of the Universe. Cambridge, MA: Harvard University Press (1987).]

Passo 1

O enunciado descreve um universo estático com estrelas uniformemente distribuídas. Dividimos o espaço em cascas de espessura fixa de modo que, se não houvesse bloqueio, as estrelas de cada casca subtenderiam um ângulo sólido total \omega_0. Precisamos levar em conta que estrelas mais próximas podem bloquear parte do céu, e mostrar que somando todas as cascas até o infinito o ângulo sólido líquido total é 4\pi.

Passo 2

Sem bloqueio, cada casca contribuiria com \omega_0. Com bloqueio, definimos f_{k-1} como a fração do céu que ainda está livre depois de processar as primeiras k-1 cascas. A contribuição líquida da casca k será então
\omega_k = f_{k-1}\,\omega_0.

Passo 3

Cada casca bloqueia uma fração \omega_0/(4\pi) do céu inteiro, de modo que
f_k = f_{k-1}\Bigl(1 - \frac{\omega_0}{4\pi}\Bigr), \quad f_0 = 1.
Isso leva a
f_{k-1} = \Bigl(1 - \frac{\omega_0}{4\pi}\Bigr)^{\,k-1}.

Passo 4

O ângulo sólido total é a soma das contribuições de k=1 até \infty:
\Omega_{\text{total}} = \sum_{k=1}^{\infty}\omega_k = \sum_{k=1}^{\infty}f_{k-1}\,\omega_0 = \omega_0 \sum_{j=0}^{\infty}\Bigl(1 - \frac{\omega_0}{4\pi}\Bigr)^{j}.
Como para |q|<1 vale
\sum_{j=0}^{\infty}q^j = \frac{1}{1-q},
usando q=1-\omega_0/(4\pi) obtemos
\Omega_{\text{total}} = \omega_0 \cdot \frac{1}{1 - \bigl(1 - \frac{\omega_0}{4\pi}\bigr)} = \omega_0 \cdot \frac{1}{\omega_0/(4\pi)} = 4\pi.

Resposta

4\pi

Exercícios de Livros Relacionados