(b) a constante de Euler-Mascheroni é desconhecida.
Dado \sum_{n=1}^{1,000} n^{-1}=7,485470 \ldots estabeleça limites superior e inferior para a constante de EulerMascheroni.
5.2.12

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre limites superior e inferior para a constante de Euler–Mascheroni
\gamma, sabendo que
H_{1000}=\sum_{n=1}^{1000}\frac1n=7,485470\ldots
e lembrando que
\gamma=\lim_{n\to\infty}\Bigl(H_n-\ln n\Bigr).
Para isso, vamos usar o método do teste integral que dá estimativas de H_n em função de \ln n.

Passo 2

Aplicamos o teste integral à série harmônica. Em geral, para n\ge1 vale
\int_{1}^{n}\frac{dx}{x}\;<\;\sum_{k=1}^{n}\frac1k\;<\;\int_{1}^{n}\frac{dx}{x}+\frac1n.
Isto é,
\ln n\;<\;H_n\;<\;\ln n+\frac1n.

Passo 3

Escolhendo n=1000 ficamos com
\ln(1000)\;<\;H_{1000}\;<\;\ln(1000)+\frac1{1000}.
Como \ln(1000)=3\ln(10)\approx6,9077553 e H_{1000}=7,485470, obtemos
6,9077553\;<\;7,485470\;<\;6,9077553+0,001,
portanto
0\;<\;H_{1000}-\ln(1000)\;<\;0,001.

Passo 4

Da definição de \gamma como limite de H_n-\ln n e da desigualdade acima segue
H_{1000}-\ln(1000)-\frac1{1000}\;<\;\gamma\;<\;H_{1000}-\ln(1000).
Substituindo H_{1000}-\ln(1000)\approx7,485470-6,9077553=0,5777147 e \tfrac1{1000}=0,001, temos
0,5777147-0,001\;<\;\gamma\;<\;0,5777147,
ou seja
0,5767147\;<\;\gamma\;<\;0,5777147.

Resposta

0,5767\;<\;\gamma\;<\;0,5778.

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