5.2.2 Se
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}=K,
é uma constante com 0<K<\infty, mostre que \sum_{n} b_{n} converge ou diverge com \sum a_{n}.
Sugestão: Se \sum a_{n} convergir, use b_{n}^{\prime}=\frac{1}{2 K} b_{n}. Se \sum_{n} a_{n} divergir, use b_{n}^{\prime \prime}=\frac{2}{K} b_{n}.

Passo 1

Resumindo: temos duas sequências de termos positivos (a_n) e (b_n) tais que
\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=K,
onde 0<K<\infty. Precisamos mostrar que as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas. O conteúdo que vamos usar é o teste de comparação de séries e a definição de limite de sequência.

Passo 2

Pela definição de limite, tomando \varepsilon = \tfrac{K}{2}>0, existe N tal que para todo n\ge N
\left|\frac{b_n}{a_n}-K\right|<\frac{K}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{K}{2}<\frac{b_n}{a_n}<\frac{3K}{2}.

Passo 3

Suponha primeiro que \sum a_n converge. Defina
b'_n = \frac{1}{2K}\,b_n.
Para n\ge N temos
\frac{b'_n}{a_n} = \frac{b_n}{2K\,a_n} < \frac{\tfrac{3K}{2}}{2K} = \frac{3}{4} <1,
logo b'_n \le a_n. Pelo teste de comparação, \sum b'_n converge. Como
\sum b'_n = \frac{1}{2K}\sum b_n,
concluímos que \sum b_n também converge.

Passo 4

Agora suponha que \sum a_n diverge. Defina
b''_n = \frac{2}{K}\,b_n.
Para n\ge N temos
\frac{b''_n}{a_n} = \frac{2}{K}\,\frac{b_n}{a_n} > \frac{2}{K}\,\frac{K}{2} =1,
logo b''_n \ge a_n. Pelo teste de comparação, \sum b''_n diverge. Como
\sum b''_n = \frac{2}{K}\sum b_n,
segue que \sum b_n também diverge.

Resposta

Concluímos que \sum b_n converge se e somente se \sum a_n converge, e diverge se e somente se \sum a_n diverge.

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