A série
define uma função analítica no disco
. Obtenha sua continuação analítica a todo o plano e mostre que ela é regular e nula no infinito, que ela possui apenas três singularidades do tipo pólo, e localize esses pólos.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
válida no disco
. O conteúdo principal é soma de séries geométricas, continuação analítica de funções meromorfas e análise de comportamento em
. Para resolver, vamos reconhecer a série como série geométrica em
, obter uma expressão fechada, identificar polos e estudar a regularidade em
.
Passo 2
Para
temos
, logo
Essa expressão define a continuação analítica de
para todo
tal que
.
Passo 3
A função
é meromorfa em
. As únicas singularidades são os zeros do denominador, e todos são polos simples porque
não se anula simultaneamente com
.
Passo 4
Resolvendo
, obtemos
logo
Isso dá os três polos simples
Passo 5
Para estudar
, considere a mudança
. Defina
Como
é holomorfa em
e
, concluímos que
é regular em
e que
Resposta
A continuação analítica de
é
que é meromorfa em
com três polos simples em
é regular em
e satisfaz
.