A série f(z)=sumn=0^infty(-z)^3 n define uma função analítica no disco |z|<1. Obtenha sua continuação analítica a todo o plano e mostre que ela é regular e nula no infinito, que ela possui apenas três singularidades do tipo pólo, e localize esses pólos.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
f(z)=sumn=0^infty(-z)^3n
válida no disco |z|<1. O conteúdo principal é soma de séries geométricas, continuação analítica de funções meromorfas e análise de comportamento em infty. Para resolver, vamos reconhecer a série como série geométrica em (-z^3), obter uma expressão fechada, identificar polos e estudar a regularidade em infty.

Passo 2

Para |z|<1 temos |z^3|<1, logo
f(z)=sumn=0^infty(-z)^3n =sumn=0^infty(-z^3)^n =11-(-z^3) =11+z^3
Essa expressão define a continuação analítica de f para todo z tal que 1+z^3neq0.

Passo 3

A função
f(z)=11+z^3
é meromorfa em C. As únicas singularidades são os zeros do denominador, e todos são polos simples porque ddz(1+z^3)=3z^2 não se anula simultaneamente com 1+z^3.

Passo 4

Resolvendo 1+z^3=0, obtemos
z^3=-1=e^i(pi+2pi k), k=0,1,2,
logo
zk=e^,i(pi+2pi k)/3, k=0,1,2
Isso dá os três polos simples
z0=e^ipi/3, z1=e^ipi=-1, z2=e^i5pi/3

Passo 5

Para estudar infty, considere a mudança w=1/z. Defina
g(w)=f(1/w)=11+(1/w)^3 =w^31+w^3
Como g(w) é holomorfa em w=0 e g(0)=0, concluímos que f é regular em infty e que
limztoinftyf(z)=0

Resposta

A continuação analítica de f é
f(z)=11+z^3,
que é meromorfa em C com três polos simples em
z=e^i(pi+2pi k)/3,;k=0,1,2,
é regular em infty e satisfaz limztoinftyf(z)=0.

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