Construa os gráficos das funções em mathbbR definidas por:
f(x)=12 cdot 3^x

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=tfrac12cdot3^x
em R. O conteúdo aqui é função exponencial e como transformações (no caso, escala vertical) alteram seu gráfico. Para resolver, iremos identificar domínio, imagem, assíntota, relação com a base 3^x, calcular pontos-chaves e então traçar o esboço.

Passo 2

Identificamos as propriedades gerais de f:
– Domínio: todos os xinR, pois 3^x está definida em R.
– Imagem: f(x)>0 para todo x, logo Im(f)=(0,infty).
– Monotonicidade: como 3^x é estritamente crescente, f também cresce.
– Assíntota horizontal: limxto-infty3^x=0 implica
limxto-inftyf(x)=tfrac12cdot0=0,
portanto y=0 é assíntota.

Passo 3

Note que f(x)=tfrac12cdot g(x) com g(x)=3^x. Isso significa que o gráfico de f é o de g “esticado” verticalmente por um fator tfrac12? Não: é encolhido verticalmente, já que cada valor de g é multiplicado por tfrac12. Assim, todos os pontos (x,g(x)) vão para (x,tfrac12g(x)), aproximando a curva ainda mais do eixo x.

Passo 4

Vamos calcular alguns pontos-chaves para facilitar o esboço:
x: -2, -1, 0, 1, 2
f(x):
f(-2)=tfrac12cdot3^-2=tfrac12cdottfrac19=tfrac118, f(-1)=tfrac12cdottfrac13=tfrac16,
f(0)=tfrac12cdot1=tfrac12, f(1)=tfrac12cdot3=tfrac32, f(2)=tfrac12cdot9=tfrac92

Passo 5

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x e y e a linha tracejada y=0 (assíntota).
  2. Marque os pontos l(-2,tfrac118r), l(-1,tfrac16r), l(0,tfrac12r), l(1,tfrac32r), l(2,tfrac92r).
  3. Una-os com uma curva suave, sempre crescente e cada vez mais “íngreme” à direita, aproximando-se de y=0 à esquerda.

Resposta

Esboço do gráfico de f(x)=tfrac12cdot3^x:
– Domínio: R.
– Imagem: (0,infty).
– Assíntota horizontal: y=0.
– Passa por l(0,tfrac12r), l(1,tfrac32r), etc., e é crescente e convexa.
O gráfico é uma curva exponencial encolhida verticalmente por 2, aproximando-se de y=0 à esquerda e subindo sem limite à direita.

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