Construir os gráficos das seguintes funções, determinando os pontos de encontro com os eixos, os máximos e mínimos, os pontos em que a função é infinita e os pontos de inflexão:
Passo 1
O enunciado pede o estudo completo do gráfico da função racional
isto é, determinar o domínio, os pontos em que a função corta os eixos, onde ela vai a infinito (assíntotas verticais), a assíntota horizontal, os máximos e mínimos locais e os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro o domínio é dado pelos
que não anulam o denominador. Como
, temos
Assim aparecem duas assíntotas verticais em
e
. Como o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), a assíntota horizontal é
Passo 3
Para os pontos de encontro com os eixos:
– -intercepto: fazemos
, ou seja
. Logo a curva passa por
.
– -intercepto: fazemos
, obtemos
–
–
logo o ponto
.
Passo 4
Para achar extremos locais, calculamos a derivada primeira. Usando a regra do quociente,
Os pontos críticos surgem quando o numerador se anula:
Passo 5
Para classificar esses pontos, analisamos o sinal de
em cada intervalo:
– Em , escolhemos
e vemos
(decrescente).
– Em , escolhemos
e vemos
(crescente).
Logo em há um mínimo local. O valor de
nesse ponto é
– Em
– Em
Logo em
– Em
, escolhemos
e vemos
.
– Em , escolhemos
e vemos
.
Logo em há um máximo local, com
– Em
Logo em
Passo 6
Para os pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada e igualamos a zero (ignorar as raízes que vêm de
, pois são as assíntotas verticais). O resultado é
A única raiz real da cúbica
é aproximadamente
e aí
Portanto existe um ponto de inflexão em
.
Resposta
Domínio:
Assíntotas verticais: ,
Assíntota horizontal:
Interceptos: e
Mínimo local:
Máximo local:
Ponto de inflexão:
Assíntotas verticais:
Assíntota horizontal:
Interceptos:
Mínimo local:
Máximo local:
Ponto de inflexão: