Construir os gráficos das seguintes funções, determinando os pontos de encontro com os eixos, os máximos e mínimos, os pontos em que a função é infinita e os pontos de inflexão:
y=x-3x^2-4

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo do gráfico da função racional
y = x-3x^2-4,
isto é, determinar o domínio, os pontos em que a função corta os eixos, onde ela vai a infinito (assíntotas verticais), a assíntota horizontal, os máximos e mínimos locais e os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro o domínio é dado pelos x que não anulam o denominador. Como x^2-4=(x-2)(x+2), temos
dom(f)=Rsetminus-2,2
Assim aparecem duas assíntotas verticais em x=-2 e x=2. Como o grau do numerador (1) é menor que o do denominador (2), a assíntota horizontal é
y=0

Passo 3

Para os pontos de encontro com os eixos:
x-intercepto: fazemos y=0, ou seja x-3=0implies x=3. Logo a curva passa por (3,0).
y-intercepto: fazemos x=0, obtemos
y(0)=0-30^2-4=-3-4=34,
logo o ponto l(0,tfrac34r).

Passo 4

Para achar extremos locais, calculamos a derivada primeira. Usando a regra do quociente,
y'=(1)(x^2-4)-(x-3)(2x)(x^2-4)^2 =-x^2+6x-4(x^2-4)^2
Os pontos críticos surgem quando o numerador se anula:
-x^2+6x-4=0 Longrightarrow x^2-6x+4=0 Longrightarrow x=3pmraiz5

Passo 5

Para classificar esses pontos, analisamos o sinal de y' em cada intervalo:
– Em (-2,3-raiz5), escolhemos x=0 e vemos y'<0 (decrescente).
– Em (3-raiz5,2), escolhemos x=1 e vemos y'>0 (crescente).
Logo em x1=3-raiz5approx0,764 há um mínimo local. O valor de y nesse ponto é
y(3-raiz5) =(3-raiz5)-3(3-raiz5)^2-4 =-raiz59-6raiz5+5-4 approx0,654
– Em (2,3+raiz5), escolhemos x=3 e vemos y'>0.
– Em (3+raiz5,infty), escolhemos x=6 e vemos y'<0.
Logo em x2=3+raiz5approx5,236 há um máximo local, com
y(3+raiz5) approx2,236(5,236)^2-4 approx0,096

Passo 6

Para os pontos de inflexão, calculamos a segunda derivada e igualamos a zero (ignorar as raízes que vêm de x^2-4=0, pois são as assíntotas verticais). O resultado é
y''=2,(x^2-4),(x^3-9x^2+12x-12)(x^2-4)^4
A única raiz real da cúbica x^3-9x^2+12x-12=0 é aproximadamente
xapprox7,633,
e aí
y(7,633)approx7,633-3(7,633)^2-4approx0,085
Portanto existe um ponto de inflexão em l(7,633,,0,085r).

Resposta

Domínio: Rsetminus-2,2
Assíntotas verticais: x=-2, x=2
Assíntota horizontal: y=0
Interceptos: (3,0) e l(0,tfrac34r)
Mínimo local: l(3-raiz5,;0,654r)
Máximo local: l(3+raiz5,;0,096r)
Ponto de inflexão: l(7,633,;0,085r)

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