4.6.9 Como a contração quádrupla de um pseudotensor de quarta ordem e dois tensores de segunda ordem varepsilonmu lambda nu sigma F^mu lambda F^nu sigma é claramente um pseudo-escalar, avalie-o.
Resposta: -8 varepsilon0^2 c B cdot E.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o pseudo-escalar
varepsilonmulambdanusigma,F^mulambda,F^nusigma,
onde F^0i = varepsilon0,E^i, F^i0 = -varepsilon0,E^i, F^ij = -varepsilon0,c,varepsilon^ijk,B^k é o tensor do campo eletromagnético em unidades SI e é o símbolo de Levi-Civita em -dimensões. Vamos usar (i) a antissimetria de ambos os tensores e (ii) as componentes de em termos de e :

Passo 2

Mostramos que só há contribuição quando exatamente um dos índices de cada varepsilonmulambdanusigma,F^mulambda,F^nusigma =4;varepsilon0,i,j,k;F^0i,F^jk, ou vale e os outros três são espaciais. Contando todas as permutações, o resultado reduz-se a
onde é o símbolo de Levi-Civita tridimensional.

Passo 3

Substituímos as componentes de varepsilon0,i,j,k;F^0i,F^jk =varepsiloni j k;(varepsilon0,E^i);(-varepsilon0,c,varepsilon^j k ell,B^ell) =-varepsilon0^2,c;varepsiloni j k,varepsilon^j k ell;E^i,B^ell em termos de e :

Passo 4

Usamos a identidade de contração do Levi-Civita tridimensional,
varepsiloni j k,varepsilon^j k ell=2,de
de modo que
varepsilon0,i,j,k;F^0i,F^jk =-varepsilon0^2,c;(2,de
Multiplicando por varepsilonmulambdanusigma,F^mulambda,F^nusigma =4l(-2,varepsilon0^2,c,EcdotBr) =-8,varepsilon0^2,c,EcdotB vindo do passo , obtemos

Resposta

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