4.6.9 Como a contração quádrupla de um pseudotensor de quarta ordem e dois tensores de segunda ordem \varepsilon_{\mu \lambda \nu \sigma} F^{\mu \lambda} F^{\nu \sigma} é claramente um pseudo-escalar, avalie-o.
Resposta: -8 \varepsilon_{0}^{2} c \mathbf{B} \cdot \mathbf{E}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o pseudo-escalar
\varepsilon_{\mu\lambda\nu\sigma}\,F^{\mu\lambda}\,F^{\nu\sigma},
onde F^{\mu\nu} é o tensor do campo eletromagnético em unidades SI e \varepsilon_{\mu\lambda\nu\sigma} é o símbolo de Levi-Civita em 4-dimensões. Vamos usar (i) a antissimetria de ambos os tensores e (ii) as componentes de F^{\mu\nu} em termos de \mathbf{E} e \mathbf{B}:
F^{0i} = \varepsilon_{0}\,E^{i}, \quad F^{i0} = -\varepsilon_{0}\,E^{i}, \quad F^{ij} = -\varepsilon_{0}\,c\,\varepsilon^{ijk}\,B^{k}.

Passo 2

Mostramos que só há contribuição quando exatamente um dos índices de cada F^{\mu\lambda} ou F^{\nu\sigma} vale 0 e os outros três são espaciais. Contando todas as permutações, o resultado reduz-se a
\varepsilon_{\mu\lambda\nu\sigma}\,F^{\mu\lambda}\,F^{\nu\sigma} =4\;\varepsilon_{0\,i\,j\,k}\;F^{0i}\,F^{jk},
onde \varepsilon_{0\,i\,j\,k}=\varepsilon_{i j k} é o símbolo de Levi-Civita tridimensional.

Passo 3

Substituímos as componentes de F em termos de \mathbf{E} e \mathbf{B}:
\varepsilon_{0\,i\,j\,k}\;F^{0i}\,F^{jk} =\varepsilon_{i j k}\;(\varepsilon_{0}\,E^{i})\;(-\varepsilon_{0}\,c\,\varepsilon^{j k \ell}\,B^{\ell}) =-\varepsilon_{0}^{2}\,c\;\varepsilon_{i j k}\,\varepsilon^{j k \ell}\;E^{i}\,B^{\ell}.

Passo 4

Usamos a identidade de contração do Levi-Civita tridimensional,
\varepsilon_{i j k}\,\varepsilon^{j k \ell}=2\,\delta_{i}^{\ell},
de modo que
\varepsilon_{0\,i\,j\,k}\;F^{0i}\,F^{jk} =-\varepsilon_{0}^{2}\,c\;(2\,\delta_{i}^{\ell})\,E^{i}\,B^{\ell} =-2\,\varepsilon_{0}^{2}\,c\;\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}.
Multiplicando por 4 vindo do passo 2, obtemos
\varepsilon_{\mu\lambda\nu\sigma}\,F^{\mu\lambda}\,F^{\nu\sigma} =4\bigl(-2\,\varepsilon_{0}^{2}\,c\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\bigr) =-8\,\varepsilon_{0}^{2}\,c\,\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}.

Resposta

-8\,\varepsilon_{0}^{2}\,c\,\mathbf{B}\cdot\mathbf{E}

Exercícios de Livros Relacionados