4.6.9 Como a contração quádrupla de um pseudotensor de quarta ordem e dois tensores de segunda ordem
é claramente um pseudo-escalar, avalie-o.
Resposta:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o pseudo-escalar
onde
é o tensor do campo eletromagnético em unidades SI e
é o símbolo de Levi-Civita em
-dimensões. Vamos usar (i) a antissimetria de ambos os tensores e (ii) as componentes de
em termos de
e
:
Passo 2
Mostramos que só há contribuição quando exatamente um dos índices de cada
ou
vale
e os outros três são espaciais. Contando todas as permutações, o resultado reduz-se a
onde
é o símbolo de Levi-Civita tridimensional.
Passo 3
Substituímos as componentes de
em termos de
e
:
Passo 4
Usamos a identidade de contração do Levi-Civita tridimensional,
de modo que
Multiplicando por
vindo do passo
, obtemos