4.6.11 Mostre que
é um escalar de Lorentz.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a combinação das intensidades do campo elétrico
e do campo magnético
é invariante sob transformações de Lorentz. Vamos usar o tensor do campo eletromagnético em relatividade restrita e o fato de que a contração de índices de um tensor (ou seja,
) é um escalar de Lorentz.
Passo 2
Definimos o tensor antissimétrico do campo eletromagnético em unidades SI como
onde
e
é o símbolo de Levi-Civita. Sob uma transformação de Lorentz
obtemos
Passo 3
Qualquer contração completa de índices de um tensor
é invariante sob Lorentz. Assim,
é um escalar de Lorentz.
Passo 4
Agora calculamos explicitamente
em termos de
e
. Usando a métrica de assinatura
tem-se
Multiplicando por
, obtemos
Passo 5
Como
é escalar de Lorentz (proporcional a
), concluímos que
é também um escalar de Lorentz.
Resposta
O valor
é igual a
, sendo portanto invariante sob transformações de Lorentz.