4.6.11 Mostre que c^{2} \mathbf{B}^{2}-\mathbf{E}^{2} é um escalar de Lorentz.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a combinação das intensidades do campo elétrico \mathbf{E} e do campo magnético \mathbf{B} c^{2}\mathbf{B}^{2}-\mathbf{E}^{2}
é invariante sob transformações de Lorentz. Vamos usar o tensor do campo eletromagnético em relatividade restrita e o fato de que a contração de índices de um tensor (ou seja, F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}) é um escalar de Lorentz.

Passo 2

Definimos o tensor antissimétrico do campo eletromagnético em unidades SI como
F^{0i} = \frac{E_i}{c},\qquad F^{i0} = -\frac{E_i}{c},\qquad F^{ij} = -\epsilon^{ijk}B_k,
onde i,j,k=1,2,3 e \epsilon^{ijk} é o símbolo de Levi-Civita. Sob uma transformação de Lorentz \Lambda^\mu{}_{\!\alpha} obtemos
F'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_{\!\alpha}\,\Lambda^\nu{}_{\!\beta}\,F^{\alpha\beta}.

Passo 3

Qualquer contração completa de índices de um tensor T^{\mu\nu}T_{\mu\nu} é invariante sob Lorentz. Assim,
I \equiv F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}
é um escalar de Lorentz.

Passo 4

Agora calculamos explicitamente I em termos de \mathbf{E} e \mathbf{B}. Usando a métrica de assinatura (+,-,-,-) tem-se
F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = 2\Bigl(B^{2}-\frac{E^{2}}{c^{2}}\Bigr).
Multiplicando por c^{2}/2, obtemos
\frac{c^{2}}{2}\,F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} = c^{2}B^{2}-E^{2}.

Passo 5

Como \tfrac{c^{2}}{2}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} é escalar de Lorentz (proporcional a F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}), concluímos que
c^{2}\mathbf{B}^{2}-\mathbf{E}^{2}
é também um escalar de Lorentz.

Resposta

O valor c^{2}\mathbf{B}^{2}-\mathbf{E}^{2} é igual a \tfrac{c^{2}}{2}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}, sendo portanto invariante sob transformações de Lorentz.

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