4.6.12 Visto que ( d x^{0}, d x^{1}, d x^{2}, d x^{3} ) é um quadrivetor, d x_{\mu} d x^{\mu} é um escalar. Avalie esse escalar para uma partícula em movimento em dois sistemas de coordenadas diferentes. (a) um sistema de coordenadas fixo em relação a você (sistema de laboratório) (b) em um sistema de coordenadas que se movimenta com uma partícula em movimento (velocidade v em relação a você). Rotulando o incremento de tempo por d \tau no sistema da partícula e por d t no sistema de laboratório, mostre que
\tau é o tempo próprio da partícula, uma quantidade invariante de Lorentz.

Passo 1

O enunciado diz que (dx^{0},dx^{1},dx^{2},dx^{3}) é um quadrivetor em espaço-tempo de Minkowski e que
dx_{\mu}\,dx^{\mu}
é um escalar de Lorentz. Queremos calcular esse escalar em dois referenciais distintos:
(a) no sistema de laboratório, em que a partícula tem velocidade v, e o tempo desse referencial é t;
(b) no sistema de referência instantaneamente com a partícula (seu quadro próprio), em que a partícula está em repouso e o tempo é \tau.
O objetivo é mostrar que \tau definido por essa construção é o tempo próprio da partícula e que ele é invariante de Lorentz.

Passo 2

Em coordenadas de Minkowski com assinatura (+, - , - , -) temos
dx_{\mu}dx^{\mu} = g_{\mu\nu}\,dx^{\mu}dx^{\nu} = (dx^{0})^{2} - (dx^{1})^{2} - (dx^{2})^{2} - (dx^{3})^{2}.
No sistema de laboratório, chamamos x^{0}=c\,t e a partícula se desloca com velocidade \vec v tal que \|\vec v\|=v. Para um movimento unidimensional em x escolhemos
dx^{0}=c\,dt, \quad dx^{1}=v\,dt, \quad dx^{2}=dx^{3}=0.
Substituindo em dx_{\mu}dx^{\mu} obtemos
dx_{\mu}dx^{\mu} = (c\,dt)^{2} - (v\,dt)^{2} = c^{2}dt^{2}\bigl(1 - \tfrac{v^{2}}{c^{2}}\bigr).

Passo 3

No sistema de referência da partícula ela está instantaneamente em repouso, logo seu deslocamento espacial é nulo:
dx^{1}=dx^{2}=dx^{3}=0, \quad dx^{0}=c\,d\tau,
onde d\tau é o incremento de tempo nesse quadro. Assim
dx_{\mu}dx^{\mu} = (c\,d\tau)^{2} - 0 = c^{2}d\tau^{2}.

Passo 4

Como dx_{\mu}dx^{\mu} é escalar de Lorentz, seu valor não depende do referencial. Portanto igualamos as duas expressões:
c^{2}d\tau^{2} = c^{2}dt^{2}\bigl(1 - \tfrac{v^{2}}{c^{2}}\bigr).
Cancelando c^{2} e isolando d\tau temos
d\tau = dt\,\sqrt{1 - \tfrac{v^{2}}{c^{2}}}.
Isso mostra que \tau é o tempo próprio da partícula e que ele é invariante de Lorentz, pois decorre de um escalar.

Resposta

d\tau = dt\,\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}},
ou seja, \tau é realmente o tempo próprio e independe do referencial.

Exercícios de Livros Relacionados