4.6.12 Visto que ( d x^0, d x^1, d x^2, d x^3 ) é um quadrivetor, d xmu d x^mu é um escalar. Avalie esse escalar para uma partícula em movimento em dois sistemas de coordenadas diferentes. (a) um sistema de coordenadas fixo em relação a você (sistema de laboratório) (b) em um sistema de coordenadas que se movimenta com uma partícula em movimento (velocidade v em relação a você). Rotulando o incremento de tempo por d tau no sistema da partícula e por d t no sistema de laboratório, mostre que
tau é o tempo próprio da partícula, uma quantidade invariante de Lorentz.

Passo 1

O enunciado diz que dxmu,dx^mu é um quadrivetor em espaço-tempo de Minkowski e que
é um escalar de Lorentz. Queremos calcular esse escalar em dois referenciais distintos:
(a) no sistema de laboratório, em que a partícula tem velocidade , e o tempo desse referencial é ;
(b) no sistema de referência instantaneamente com a partícula (seu quadro próprio), em que a partícula está em repouso e o tempo é .
O objetivo é mostrar que definido por essa construção é o tempo próprio da partícula e que ele é invariante de Lorentz.

Passo 2

Em coordenadas de Minkowski com assinatura dxmudx^mu = gmunu,dx^mudx^nu = (dx^0)^2 - (dx^1)^2 - (dx^2)^2 - (dx^3)^2 temos
dx^0=c,dt, dx^1=v,dt, dx^2=dx^3=0
No sistema de laboratório, chamamos dxmudx^mu = (c,dt)^2 - (v,dt)^2 = c^2dt^2l(1 - tfracv^2c^2r) e a partícula se desloca com velocidade tal que . Para um movimento unidimensional em escolhemos
Substituindo em obtemos

Passo 3

No sistema de referência da partícula ela está instantaneamente em repouso, logo seu deslocamento espacial é nulo:
dx^1=dx^2=dx^3=0, dx^0=c,dtau,
onde dxmudx^mu = (c,dtau)^2 - 0 = c^2dtau^2 é o incremento de tempo nesse quadro. Assim

Passo 4

Como c^2dtau^2 = c^2dt^2l(1 - tfracv^2c^2r) é escalar de Lorentz, seu valor não depende do referencial. Portanto igualamos as duas expressões:
dtau = dt,raiz1 - tfracv^2c^2
Cancelando e isolando temos
Isso mostra que é o tempo próprio da partícula e que ele é invariante de Lorentz, pois decorre de um escalar.

Resposta

dtau = dt,raiz1 - v^2c^2,
ou seja, é realmente o tempo próprio e independe do referencial.

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