4.6.12 Visto que (
) é um quadrivetor,
é um escalar. Avalie esse escalar para uma partícula em movimento em dois sistemas de coordenadas diferentes. (a) um sistema de coordenadas fixo em relação a você (sistema de laboratório) (b) em um sistema de coordenadas que se movimenta com uma partícula em movimento (velocidade
em relação a você). Rotulando o incremento de tempo por
no sistema da partícula e por
no sistema de laboratório, mostre que
é o tempo próprio da partícula, uma quantidade invariante de Lorentz.
Passo 1
O enunciado diz que
é um quadrivetor em espaço-tempo de Minkowski e que
é um escalar de Lorentz. Queremos calcular esse escalar em dois referenciais distintos:
(a) no sistema de laboratório, em que a partícula tem velocidade , e o tempo desse referencial é
;
(b) no sistema de referência instantaneamente com a partícula (seu quadro próprio), em que a partícula está em repouso e o tempo é .
O objetivo é mostrar que definido por essa construção é o tempo próprio da partícula e que ele é invariante de Lorentz.
(a) no sistema de laboratório, em que a partícula tem velocidade
(b) no sistema de referência instantaneamente com a partícula (seu quadro próprio), em que a partícula está em repouso e o tempo é
O objetivo é mostrar que
Passo 2
Em coordenadas de Minkowski com assinatura
temos
No sistema de laboratório, chamamos
e a partícula se desloca com velocidade
tal que
. Para um movimento unidimensional em
escolhemos
Substituindo em
obtemos
Passo 3
No sistema de referência da partícula ela está instantaneamente em repouso, logo seu deslocamento espacial é nulo:
onde
é o incremento de tempo nesse quadro. Assim
Passo 4
Como
é escalar de Lorentz, seu valor não depende do referencial. Portanto igualamos as duas expressões:
Cancelando
e isolando
temos
Isso mostra que
é o tempo próprio da partícula e que ele é invariante de Lorentz, pois decorre de um escalar.
Resposta
ou seja,
é realmente o tempo próprio e independe do referencial.