Uma corda AB, distando 3 cm do centro de um círculo de diâmetro 12 cm , determina nesse círculo dois arcos. Determine a razão entre a medida do maior e a do menor arco desse círculo.

Passo 1

O enunciado dá um círculo de diâmetro 12:cm, logo o raio é
R = 122 = 6:cm,
e uma corda AB cuja distância ao centro é
d = 3:cm
Essa corda determina dois arcos: o menor (com ângulo central alpha) e o maior (com ângulo central 2pi-alpha). Vamos usar a relação entre a distância do centro à corda e o ângulo central correspondente.

Passo 2

Seja alpha o ângulo central do arco menor. Na geometria de círculos vale
cosl(tfracalpha2r) ;=;dR
Substituindo d=3 e R=6,
cosl(tfracalpha2r)=36=tfrac12 Longrightarrow tfracalpha2=arccosl(tfrac12r)=pi3 Longrightarrow alpha=2cdotpi3=2pi3

Passo 3

O arco maior tem ângulo central
2pi - alpha = 2pi - 2pi3 = 4pi3

Passo 4

A razão entre a medida do maior arco e a do menor é
,tfrac4pi3,,tfrac2pi3, =;2

Resposta

A razão pedida é 2.

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