(UF-MS) Numa corrida de longa distância, dois competidores estão distantes 164 m um do outro e ambos correndo de forma a percorrer constantemente 2 m em um segundo. Num determinado instante, somente o corredor que está atrás começa a acelerar, de forma que, no 1: segundo, percorre 2,2 m; no 2^circ segundo, 2,4 m; no 3 ? segundo, 2,6 m; e assim sucessivamente aumentando 0,2 m a cada segundo. Em quantos segundos o corredor que acelerou alcança o corredor da sua frente que não acelerou, emparelhandose com este?
a) 30 segundos.
b) 36 segundos.
c) 40 segundos.
d) 44 segundos.
e) 50 segundos.

Passo 1

Resumindo: no instante inicial o corredor de trás está 164 m atrás e ambos correm normalmente a 2 m/s. A partir desse instante, o corredor de trás passa a ter, no k-ésimo segundo, uma distância percorrida que forma progressão aritmética de primeiro termo a1=2,2 m e razão 0,2 m. Queremos achar o menor n tal que ele recupere os 164 m de desvantagem.

Passo 2

A distância que o corredor acelerado percorre no k-ésimo segundo é
ak = 2 + 0,2k
Nesse mesmo segundo, o outro percorre 2 m, então a vantagem líquida ganha nesse segundo é
ak - 2 = 0,2k

Passo 3

Para emparelhar, a soma das vantagens líquidas dos n primeiros segundos deve ser 164 m:
sumk=1^n(0,2k) = 164
Como sumk=1^nk = tfracn(n+1)2, temos
0,2;n(n+1)2 = 164

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 10 e depois por 2, obtemos
n(n+1) = 1640
A equação quadrática é
n^2 + n - 1640 = 0,
cujo discriminante é De<a =1 + 4cdot1640 =6561 =81^2, dando
n = -1 + 812 = 40

Resposta

O corredor acelerado alcança o outro em 40 segundos. Portanto, a alternativa correta é a (c).

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