44 A curva paramétrica que é descrita por ((\operatorname{sen} t)(1-\cos t),(\cos t)(1-\cos t)), para t em [0,2 \pi], é denominada cardioide. Esboce um gráfico dessa curva paramétrica e discuta a razão para seu nome.

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica em [0,2\pi] por
x(t)=\sin t\,(1-\cos t),\quad y(t)=\cos t\,(1-\cos t).
O conteúdo envolve reconhecimento de curvas paramétricas via coordenadas polares. Nosso objetivo é esboçar o gráfico e explicar por que ela se chama cardioide.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
r^2 = x(t)^2 + y(t)^2 = (1-\cos t)^2(\sin^2 t + \cos^2 t) = (1-\cos t)^2,
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r = 1 - \cos t.
Também
\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\cos t\,(1-\cos t)}{\sin t\,(1-\cos t)} = \cot t
que dá \theta = \tfrac{\pi}{2} - t. Invertendo, t=\tfrac{\pi}{2}-\theta, e substituindo em r resulta
r = 1 - \cos\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\theta\Bigr) = 1 - \sin\theta,
que é a forma polar clássica de uma cardioide.

Passo 3

Para esboçar
r = 1 - \sin\theta,\quad 0\le\theta\le2\pi,
observamos os pontos-chave:
\theta=0\Rightarrow r=1 em (1,0),
\theta=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow r=0 cúspide em (0,0),
\theta=\pi\Rightarrow r=1 em (-1,0),
\theta=\tfrac{3\pi}{2}\Rightarrow r=2 em (0,-2).
Ligando esses pontos suavemente, formamos uma curva com uma ponta afunilada no origen e a parte arredondada voltada para baixo — o típico “formato de coração”.

Passo 4

O termo “cardioide” vem do grego \text{\kappa\alpha\rho\delta\acute{\iota}\alpha}, que significa “coração”. A silhueta dessa curva lembra esse órgão, daí o nome.

Resposta

O esboço é uma curva em forma de coração com cúspide em (0,0) e bulge voltado para baixo, dada em polar por \,r=1-\sin\theta. Ela se chama cardioide porque seu contorno lembra a silhueta de um coração.

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