44 A curva paramétrica que é descrita por
, para
em
, é denominada cardioide. Esboce um gráfico dessa curva paramétrica e discuta a razão para seu nome.
Passo 1
O enunciado define a curva paramétrica em
por
O conteúdo envolve reconhecimento de curvas paramétricas via coordenadas polares. Nosso objetivo é esboçar o gráfico e explicar por que ela se chama cardioide.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
logo
Também
que dá
. Invertendo,
, e substituindo em
resulta
que é a forma polar clássica de uma cardioide.
Passo 3
Para esboçar
observamos os pontos-chave:
em
,
cúspide em
,
em
,
em
.
Ligando esses pontos suavemente, formamos uma curva com uma ponta afunilada no origen e a parte arredondada voltada para baixo — o típico “formato de coração”.
Ligando esses pontos suavemente, formamos uma curva com uma ponta afunilada no origen e a parte arredondada voltada para baixo — o típico “formato de coração”.
Passo 4
O termo “cardioide” vem do grego
, que significa “coração”. A silhueta dessa curva lembra esse órgão, daí o nome.
Resposta
O esboço é uma curva em forma de coração com cúspide em
e bulge voltado para baixo, dada em polar por
. Ela se chama cardioide porque seu contorno lembra a silhueta de um coração.