O custo em u.m. (unidades monetárias) para remover x % dos detritos tóxicos despejados num aterro é dado por:
C(x)=0.8 x100-x
para 0<x<100.
(a) Determine o custo total referente à remoção de 40 %, 60 % e 90 % dos detritos. Esboce o gráfico de C=C(x).
(b) Que percentual de detritos pode ser removido por 10.000 u.m?
(c) Determine o custo médio e esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total em u.m. para remover x% de detritos:
C(x)=0.8,x100 - x, 0<x<100
Parte (a) pede valores de C(x) em x=40,60,90 e um esboço do gráfico; parte (b) pede resolver C(x)=10000; parte (c) define o custo médio como Cm(x)=C(x)/x e pede seu gráfico.

Passo 2

Substituímos em C(x):
C(40)=0.8cdot40100-40=3260approx0,5333 um,
C(60)=0.8cdot60100-60=4840=1,2 um,
C(90)=0.8cdot90100-90=7210=7,2 um

Passo 3

O gráfico de C(x)=0.8x/(100-x) é uma hipérbole com:
– domínio (0,100),
– assíntota vertical em x=100, pois C(x)to+infty quando xto100^-,
C(0^+)=0,
– é estritamente crescente e convexa no domínio.
Esboço qualitativo: curva parte de zero, sobe lentamente para depois explodir ao se aproximar de x=100.

Passo 4

Para achar x tal que C(x)=10000, montamos:
0.8,x100-x=10000 ;Longrightarrow;0.8,x=10000,(100-x) ;Longrightarrow;(10000+0.8),x=1000000 ;Longrightarrow;x=100000010000.8approx99,992%

Passo 5

O custo médio por ponto percentual removido é
Cm(x)=C(x)x =0.8,xx,(100-x) =0.8100-x
Esse gráfico também é uma hipérbole com assíntota vertical em x=100 e parte em Cm(0^+)=0,008.

Resposta

(a) C(40)approx0,5333, C(60)=1,2, C(90)=7,2 (u.m.).
Gráfico: hipérbole com assíntota vertical em x=100.
(b) xapprox99,992%.
(c) Cm(x)=dfrac0.8100-x, gráfico em hipérbole com assíntota em x=100.

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