É dada uma sequência infinita de quadriláteros, cada um, a partir do segundo, tendo por vértices os pontos médios dos lados do anterior. Obtenha a soma das áreas dos quadriláteros em função da área A do primeiro.

Passo 1

O enunciado descreve uma sequência infinita de quadriláteros em que, a partir do segundo, cada vértice é o ponto médio de um lado do quadrilátero anterior. Denotando por A a área do primeiro quadrilátero, queremos a soma infinita das áreas. Para isso, vamos usar o teorema de Varignon (que relaciona áreas de quadriláteros e seus midpoint-quadriláteros) e a soma de uma progressão geométrica.

Passo 2

Pelo teorema de Varignon, o quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de um dado quadrilátero é sempre um paralelogramo cuja área vale metade da área do quadrilátero original. Assim, se chamarmos de A1 a área do primeiro quadrilátero, a área do segundo é
A2 ;=;12,A1

Passo 3

Cada novo quadrilátero repete o mesmo processo de tomar os pontos médios, logo a razão entre áreas sucessivas é constante e igual a
r ;=;tfrac12
Portanto, a área do n-ésimo quadrilátero é
An ;=;A1;l(tfrac12r)^,n-1;=;A;l(tfrac12r)^,n-1

Passo 4

A soma das áreas dos quadriláteros é a soma infinita da progressão geométrica de primeiro termo A e razão tfrac12:
S ;=;sumn=1^inftyAn ;=;Asumn=0^inftyl(tfrac12r)^n ;=;A1-tfrac12 ;=;2A

Resposta

A soma das áreas é 2A.

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