É dada uma sequência infinita de quadriláteros, cada um, a partir do segundo, tendo por vértices os pontos médios dos lados do anterior. Obtenha a soma das áreas dos quadriláteros em função da área A do primeiro.
Passo 1
O enunciado descreve uma sequência infinita de quadriláteros em que, a partir do segundo, cada vértice é o ponto médio de um lado do quadrilátero anterior. Denotando por
a área do primeiro quadrilátero, queremos a soma infinita das áreas. Para isso, vamos usar o teorema de Varignon (que relaciona áreas de quadriláteros e seus midpoint-quadriláteros) e a soma de uma progressão geométrica.
Passo 2
Pelo teorema de Varignon, o quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de um dado quadrilátero é sempre um paralelogramo cuja área vale metade da área do quadrilátero original. Assim, se chamarmos de
a área do primeiro quadrilátero, a área do segundo é
Passo 3
Cada novo quadrilátero repete o mesmo processo de tomar os pontos médios, logo a razão entre áreas sucessivas é constante e igual a
Portanto, a área do
-ésimo quadrilátero é
Passo 4
A soma das áreas dos quadriláteros é a soma infinita da progressão geométrica de primeiro termo
e razão
:
Resposta
A soma das áreas é
.