- Dadas duas circunferências secantes, demonstrar que as tangentes traçadas de um mesmo ponto da reta que passa pelos pontos comuns são iguais.
Passo 1
Temos duas circunferências que se cortam nos pontos
e
. Seja
a reta que passa por
e
, e escolha um ponto
sobre
. Traçamos de
as tangentes a cada circunferência, tocando-as em
e
, respectivamente. O que vamos usar é o Teorema da Potência de um Ponto: para qualquer circunferência e um ponto
, o produto dos segmentos de uma secante por
até as interseções vale o quadrado da tangente de
a essa circunferência.
Passo 2
Na primeira circunferência, a reta
é uma secante que corta em
e em
, e
é a tangente. Logo, pela potência de
temos
Passo 3
Na segunda circunferência, a mesma reta
também é secante que corta nos mesmos
e
, e
é a tangente. Aplicando o mesmo teorema, obtemos
Passo 4
Das duas igualdades segue
e como
e
são comprimentos não negativos, concluímos
Resposta
As tangentes traçadas de
às duas circunferências são iguais.