1. Dadas duas circunferências secantes, demonstrar que as tangentes traçadas de um mesmo ponto da reta que passa pelos pontos comuns são iguais.

Passo 1

Temos duas circunferências que se cortam nos pontos A e B. Seja r a reta que passa por A e B, e escolha um ponto P sobre r. Traçamos de P as tangentes a cada circunferência, tocando-as em D e E, respectivamente. O que vamos usar é o Teorema da Potência de um Ponto: para qualquer circunferência e um ponto P, o produto dos segmentos de uma secante por P até as interseções vale o quadrado da tangente de P a essa circunferência.

Passo 2

Na primeira circunferência, a reta PAB é uma secante que corta em A e em B, e PD é a tangente. Logo, pela potência de P temos
PA \cdot PB = PD^2.

Passo 3

Na segunda circunferência, a mesma reta PAB também é secante que corta nos mesmos A e B, e PE é a tangente. Aplicando o mesmo teorema, obtemos
PA \cdot PB = PE^2.

Passo 4

Das duas igualdades segue
PD^2 = PA \cdot PB = PE^2,
e como PD e PE são comprimentos não negativos, concluímos
PD = PE.

Resposta

As tangentes traçadas de P às duas circunferências são iguais.

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