(ITA-2004) Duas circunferências concêntricas \mathrm{C}_{1} e \mathrm{C}_{2} têm raios de 6 cm e 6 \sqrt{2} \mathrm{~cm}, respectivamente. Seja \overline{\mathrm{AB}} uma corda de \mathrm{C}_{2}, tangente à \mathrm{C}_{1}. A área da menor região delimitada pela corda \overline{\mathrm{AB}} e pelo arco \overline{\mathrm{AB}} mede, em cm { }^{2}.
a) 9(\pi-3)
b) 18(\pi+3)
c) 18(\pi-2)
d) 18(\pi+2)

Passo 1

O enunciado diz que temos duas circunferências concêntricas C_{1} e C_{2} com raios 6 cm e 6\sqrt{2} cm, respectivamente. A corda \overline{AB} de C_{2} é tangente a C_{1}. Precisamos calcular a área da região menor delimitada pela corda e pelo arco correspondente em C_{2}. Vamos usar que essa área equivale à área do setor de C_{2} com o ângulo central adequado menos a área do triângulo isósceles formado pelo centro e os extremos da corda.

Passo 2

Seja O o centro comum. A distância de O à corda é igual ao raio de C_{1}, isto é,
d = 6.
O raio de C_{2} é R = 6\sqrt{2}. Metade do comprimento da corda é
\ell = \sqrt{R^{2} - d^{2}} = \sqrt{(6\sqrt{2})^{2} - 6^{2}} = \sqrt{72 - 36} = 6.
Logo, o comprimento total da corda é 2\ell = 12.

Passo 3

O ângulo \theta formado entre o raio e a semi-corda satisfaz
\cos\theta = \frac{d}{R} = \frac{6}{6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}},
logo \theta = 45^\circ. O ângulo central correspondente à corda \overline{AB} é
\alpha = 2\theta = 90^\circ = \frac{\pi}{2}\,\text{rad}.

Passo 4

A área do setor de C_{2} com ângulo \alpha é
A_{\text{setor}} = \tfrac12\,R^{2}\,\alpha = \tfrac12\,(6\sqrt{2})^{2}\,\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = \tfrac12\cdot 72\cdot \tfrac{\pi}{2} = 18\pi.

Passo 5

A área do triângulo OAB é
A_{\triangle} = \tfrac12 \times (\text{base}) \times (\text{altura}) = \tfrac12 \times 12 \times 6 = 36.

Passo 6

A área do segmento (região menor delimitada pela corda e pelo arco) é
A_{\text{segmento}} = A_{\text{setor}} - A_{\triangle} = 18\pi - 36 = 18(\pi - 2).

Resposta

c) 18(\pi - 2)

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