(UF-AM) Dadas as sentenças:
I. Todo poliedro regular é um poliedro de Platão.
II. Existem apenas cinco poliedros regulares.
III. Todo poliedro convexo satisfaz a relação V-2 A=F, onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro.
IV. A soma dos ângulos das faces de um tetraedro mede 720^circ.
É correto afirmar que:
a) I e III são falsas.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
c) Il e III são falsas.
d) Somente I, II e IV são verdadeiras.
e) Apenas I, II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado trata de propriedades de poliedros regulares (os chamados poliedros de Platão), da fórmula de Euler para poliedros convexos e da soma dos ângulos das faces de um tetraedro. Para resolver vamos usar: definição de poliedro regular, contagem dos cinco sólidos de Platão, a fórmula de Euler ,V - A + F = 2 e o fato de que cada face de um tetraedro é um triângulo com soma de ângulos igual a 180^circ.

Passo 2

Analisando I: “Todo poliedro regular é um poliedro de Platão.”
Por definição, os poliedros regulares convexos são exatamente os cinco poliedros de Platão. Logo I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Existem apenas cinco poliedros regulares.”
Os cinco sólidos de Platão são o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Não há mais nenhum poliedro convexo regular além desses cinco. Logo II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: “Todo poliedro convexo satisfaz a relação V - 2A = F.”
A relação correta para todo poliedro convexo é a fórmula de Euler:
V - A + F = 2
Reorganizando, teríamos V - 2A = F - A - 2, o que não coincide com V - 2A = F. Logo III é falsa.

Passo 5

Analisando IV: “A soma dos ângulos das faces de um tetraedro mede 720^circ.”
Um tetraedro tem 4 faces triangulares. Cada triângulo tem soma dos ângulos internos igual a 180^circ. Portanto
Soma total = 4 times 180^circ = 720^circ
Logo IV é verdadeira.

Passo 6

Concluindo: I, II e IV são verdadeiras, e III é falsa. Isto corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) Somente I, II e IV são verdadeiras.

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