(UF-AM) Dadas as sentenças:
I. Todo poliedro regular é um poliedro de Platão.
II. Existem apenas cinco poliedros regulares.
III. Todo poliedro convexo satisfaz a relação
, onde
é o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces do poliedro.
IV. A soma dos ângulos das faces de um tetraedro mede
.
É correto afirmar que:
a) I e III são falsas.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
c) Il e III são falsas.
d) Somente I, II e IV são verdadeiras.
e) Apenas I, II e III são verdadeiras.
I. Todo poliedro regular é um poliedro de Platão.
II. Existem apenas cinco poliedros regulares.
III. Todo poliedro convexo satisfaz a relação
IV. A soma dos ângulos das faces de um tetraedro mede
a) I e III são falsas.
b) Apenas I e II são verdadeiras.
c) Il e III são falsas.
d) Somente I, II e IV são verdadeiras.
e) Apenas I, II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado trata de propriedades de poliedros regulares (os chamados poliedros de Platão), da fórmula de Euler para poliedros convexos e da soma dos ângulos das faces de um tetraedro. Para resolver vamos usar: definição de poliedro regular, contagem dos cinco sólidos de Platão, a fórmula de Euler
e o fato de que cada face de um tetraedro é um triângulo com soma de ângulos igual a
.
Passo 2
Analisando I: “Todo poliedro regular é um poliedro de Platão.”
Por definição, os poliedros regulares convexos são exatamente os cinco poliedros de Platão. Logo I é verdadeira.
Por definição, os poliedros regulares convexos são exatamente os cinco poliedros de Platão. Logo I é verdadeira.
Passo 3
Analisando II: “Existem apenas cinco poliedros regulares.”
Os cinco sólidos de Platão são o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Não há mais nenhum poliedro convexo regular além desses cinco. Logo II é verdadeira.
Os cinco sólidos de Platão são o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro. Não há mais nenhum poliedro convexo regular além desses cinco. Logo II é verdadeira.
Passo 4
Analisando III: “Todo poliedro convexo satisfaz a relação
.”
A relação correta para todo poliedro convexo é a fórmula de Euler:
A relação correta para todo poliedro convexo é a fórmula de Euler:
Reorganizando, teríamos
, o que não coincide com
. Logo III é falsa.
Passo 5
Analisando IV: “A soma dos ângulos das faces de um tetraedro mede
.”
Um tetraedro tem 4 faces triangulares. Cada triângulo tem soma dos ângulos internos igual a . Portanto
Um tetraedro tem 4 faces triangulares. Cada triângulo tem soma dos ângulos internos igual a
Logo IV é verdadeira.
Passo 6
Concluindo: I, II e IV são verdadeiras, e III é falsa. Isto corresponde à alternativa (d).
Resposta
d) Somente I, II e IV são verdadeiras.