Ex. 8.12 - Dado epsilon>0 arbitrário, determine, em cada caso, m in N^* tal que an in ( L-epsilon, L+epsilon ) para todo n >= m, onde:
an=1raizn+2 e L=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a sequência
an = 1raizn+2
e queremos mostrar que anto L=0 segundo a definição de limite. Dado um epsilon>0 arbitrário, precisamos encontrar um minN^* tal que para todo n>= m se tenha
anin(L-epsilon,,L+epsilon),
isto é,
l|an-0r|<epsilon
O conteúdo aqui é a aplicação direta da definição de limite de sequência.

Passo 2

Escrevemos a condição de convergência:
l|an-0r| = 1raizn+2 < epsilon
Nosso objetivo agora é manipular essa desigualdade para obter uma condição do tipo n>= m.

Passo 3

Da desigualdade
1raizn+2 < epsilon
tomamos recíproco (note que ambos os lados são positivos) obtendo
raizn+2 > 1epsilon
Elevando ao quadrado:
n+2 > 1epsilon^2 Longrightarrow n > 1epsilon^2 - 2

Passo 4

Para garantir n inteiro e natural, basta escolher
m ;=;llceil 1epsilon^2 - 2rrceil
Assim, se n>= m temos
n >= llceil 1epsilon^2 - 2rrceil ;Longrightarrow; n > 1epsilon^2 - 2 ;Longrightarrow; 1raizn+2<epsilon,
o que era exatamente o que queríamos.

Resposta

Uma escolha válida é
m(epsilon) ;=;max!l1,;llceil tfrac1epsilon^2 - 2rrceilr,
pois para todo n>= m(epsilon) vale l|an-0r|<epsilon.

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