Ex. 8.12 - Dado
arbitrário, determine, em cada caso,
tal que
(
) para todo
, onde:
e
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a sequência
e queremos mostrar que
segundo a definição de limite. Dado um
arbitrário, precisamos encontrar um
tal que para todo
se tenha
isto é,
O conteúdo aqui é a aplicação direta da definição de limite de sequência.
Passo 2
Escrevemos a condição de convergência:
Nosso objetivo agora é manipular essa desigualdade para obter uma condição do tipo
n>= m .
Passo 3
Da desigualdade
tomamos recíproco (note que ambos os lados são positivos) obtendo
Elevando ao quadrado:
Passo 4
Para garantir
n inteiro e natural, basta escolher
Assim, se
n>= m temos
o que era exatamente o que queríamos.
Resposta
Uma escolha válida é
pois para todo
n>= m(epsilon) vale
l|an-0r|<epsilon .