24.12 Dado tg u=4, pi<u<3 pi2, encontre tg u2.
Use a fórmula do meio-ângulo para tangente. Visto que pi<u<3 pi2, u pertence ao quadrante III e os sinais de sen u e cos u são negativos. Para achar sen u e cos u, use a identidade pitagórica.
sec u=-raiz1+tg^2 u=-raiz1+4^2=-raiz17
Consequentemente,
cos u=1sec u=-1raiz17 e sen u=cos u tg u=-1raiz17 cdot 4=-4raiz17
Da fórmula de meio-ângulo para tangente,
tg u2=1-cos usen u=1-(-1 / raiz17)-4 /(raiz17)=raiz17+14

Passo 1

O enunciado dá tan u = 4 e pi < u < tfrac3pi2, ou seja, u está no 3.º quadrante. Queremos tanu2. Para isso, vamos primeiro achar cos u e sin u usando a identidade pitagórica e depois aplicar a fórmula do meio-ângulo para a tangente.

Passo 2

Usamos
sec^2 u = 1 + tan^2 u
Logo
sec u = pmraiz1+4^2 = pmraiz17
Como u está no 3.º quadrante, cos u<0, então
sec u = -raiz17 Longrightarrow cos u = 1sec u = -1raiz17

Passo 3

Agora
sin u = cos u ,tan u = l(-tfrac1raiz17r)cdot 4 = -4raiz17,
o que está coerente com sin u<0 no 3.º quadrante.

Passo 4

A fórmula de meio-ângulo para a tangente é
tanu2 = 1 - cos usin u
Substituindo cos u = -tfrac1raiz17 e sin u = -tfrac4raiz17, temos:

Passo 5

tanu2 = 1 - l(-tfrac1raiz17r)-tfrac4raiz17 = 1 + tfrac1raiz17-tfrac4raiz17 = tfracraiz17+1raiz17-tfrac4raiz17 = -raiz17+14
Além disso, como u/2inl(tfracpi2,tfrac3pi4r) (2.º quadrante), a tangente deve ser negativa, confirmando o sinal.

Resposta

tanu2 = -raiz17+14

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